Prostokątny trójkąt sferyczny to taki trójkąt sferyczny w którym miara jednego z kątów jest równa 90o. Przykładowy prostokątny trójkąt sferyczny wygląda następująco:
Jak widać w prostokątnym trójkącie sferycznym znamy conajmniej jedną z niewiadomych - kąt 90o. Aby wyznaczyć pozostałe 5 elementów (bowiem mamy ich 6 - 3 kąty i 3 boki) potrzebujemy znać jeszcze conajmniej 2 elementy (resztę możemy potem wyliczyć ze wzorów, bądź własności). Z tego wynika, że wzory dla trójkątów sferycznych prostokątnych powinny być związkiem między trzema elementami, z których dwa są nam znane, a szukamy trzeciego. Tak jak napisałem we wstępie do trygonometrii sferycznej, podstawowe wzory dla trójkątów płaskich są również prawdziwe dla trójkątów sferycznych (oczywiście w innej postaci!). Tak samo będzie z Twierdzeniem Pitagorasa. Brzmi ono następująco:
cos a = cos b · cos c
Trzeba przyznać, że w świetle wcześniej poznanych twierdeń to wygląda na szybkie i łatwe w zastosowaniu. Oczywiście nazewnictwo boków (przyprostokątne i przeciwprostokątna) działa na takiej samej zasadzie co w geometrii płaskiej. Powyższe twierdzenie wyprowadzimy dzięki poznanemu już wcześniej wzorowi na cosinus boku, który wygląda tak:
W trójkącie prostokątnym kąt A = 90o, więc cos A = 0. Po podstawieniu 90o dla kąta A do wzoru na cosinus boku, otrzymujemy:
Kolejnym, równie przyjemnym w użyciu wzorem będzie wzór na sinus przyprostokątnej. Wygląda tak:
sin c = sin a · sin C
Sinus każdej przyprostokątnej jest równy iloczynowi sinusa przeciwprostokątnej przez sinus kąta przeciwległego.
Wzory te możemy otrzymać z podstawowych związków między bokami trójkąta sferycznego i odpowiadającymi im przeciwległymi kątami:
Po prostu podstawimy za A kąt równy 90o, przez co otrzymamy:
Następnym wzorem który poznamy będzie wzór na tangens przyprostokątnej. Tak jak zawsze zaczniemy od tego jak ten wzór wygląda:
tg b = tg a · cos C
Tangens każdej przyprostokątnej jest równy tangensowi przeciwprostokątnej pomnożonemu przez cosinus kąta przylegającego do tej przyprostokątnej.
I standardowo ten wzór sobie wyprowadzimy. Zrobimy to dzięki wzorom na sinus boku przez cosinus kąta przylegającego, który poznaliśmy wcześniej. Wyglądają one tak:
sin c · cos A = sin b · cos a - cos b · sin a · cos C
Jak łatwo można się domyslić, dla trójkąta prostokątnego mamy A = 0o, więc podstawiając będziemy mieli:
sin b · cos a = cos b · sin a · cos C
Następnie dzieląc obie strony pierwszej równości przez iloczyn sin a · cos c, a drugiej przez
sin a · cos b, otrzymujemy (ponieważ tgα = sinα/cosα, a cotangens to odwrotność tangensa):
tg b · ctg a = cos C, tg b = tg a · cos C
Był to ostatni poznany wzór. Jeżeli dotrwałeś/aś do tego momentu - gratulacje! Ostatnie dwa artykuły nie miały na celu zasypać Cię toną wzorów których w trygonometrii raczej się nie używa. Proszę mi uwierzyć, że jest to lekko ponad minimum, aby swobodnie czuć się w tym temacie. Ostatnią rzeczą na jakiej skupimy się w tym artykule będzie dowolny trójkąt sferyczny. Może to brzmieć dziwnie - czyżbym pomylił działy? Otóż zajmiemy się wysokością trójkąta sferycznego. Z trygonometrii płaskiej wiemy, że wysokosć pada na podstawę pod kątem prostym. Tak samo będzie w trygonometrii sferycznej. Popatrz proszę na poniższy obrazek (PTS1.7):
Jak łatwo zauważyć wysokość h dzieli ten trójkąt sferyczny ABC na dwa mniejsze prostokątne trójkąty sferyczne (ABD i DBC). Poznaliśmy już trochę twierdzeń, więc spróbujmy coś z nich "wykrzesać". Wykorzystajmy wzór na sinus przyprostokątnej. Z prostokątnych trójkątów sferycznych ABD i BCD będziemy mieli:
W powyższym wzorze można zauważyć, że odpowiadające sobie wysokości trójkątów sferycznych (które są wobec siebie biegunowe) są sobie równe, lub spełniają się do 180o. Nie wierzysz mi? Udowodnijmy to! Wzór na sinus odpowiedniej wysokości w trójkącie biegunowym względem danego trójkąta ma postać:
Jeżeli wyrazimy elementy występujące w prawej cześci równości przez elementy danego trójkąta otrzymamy:
Jeżeli spojrzymy na wzór dzięki któremu możemy wyliczyć sin h (sin h = sin a · sin C) możemy zauważyć, że h = h1! Może to zachodzić tylko wtedy, gdy h = h1, lub h = 180o - h1.
Przypatrzmy się teraz temu rysunkowi:
Oznaczmy wysokość (czerwoną) padającą na bok b jako hb, a żółtą padającą na bok a jako ha. W takim przypadku prawdziwe będą wzory:
sin ha = sin b · sin C
Jeżeli obie części pierwszej równości pomnożymy przez sin b, a drugiej przez sin a, otrzymamy:
sin a · sin ha = sin a · sin b · sin C
Z racji tego, że sin c · sin A = sin a · sin C prawe części równości są sobie równe, więc:
W trójkącie sferycznym iloczyn sinusa boku przez sinus wysokości odpowiadającej temu bokowi jest wielkością stałą.
Źródła wiedzy:
- N. Stiepanow - Trygonometria Sferyczna (1960)
- Wykłady dr hab. Leszka Smolarka dostepne na jego stronie internetowej tutaj
