Cosinus - Trygonometria i geometria!

Skocz do tematu:

Wzory na cosinus boku Wzory sinusów Wzory o pięciu elementach Wzory na cosinus kąta
Wzory o czterech elementach

Jeżeli podstawy geometrii są już za nami, zacznijmy od wzorów na cosinus boku. Były one zwykle znane pod nazwą wzorów Albataniego. Są to wzory, wyrażające związek między trzema bokami trójkąta sferycznego i jednym z jego kątów. Brzmi ono:

Cosinus danego boku trójkąta sferycznego jest równy sumie iloczynowi cosinusów dwóch pozostałych boków z iloczynem sinusów tych boków wraz z cosinusem kąta zawartego między nimi.

cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos b = cos a · cos c + sin a · sin c · cos B
cos c = cos b · cos a + sin b · sin a · cos C
Poznałem dwa dowody na wzór na cosinus boku, aczkolwiek jeden z nich jest skomplikowany i długi. Jeżeli jesteś nim zainteresowany, to odsyłam do książki "Trygonometria Sferyczna" N. Stiepanowa z 1960r. My zajmiemy się bardziej "przystępnym" dowodem. Powtórzmy jeszcze raz wzór. Niech a, b i c będą bokami trójkąta sferycznego, a C niech będzie kątem między odcinkami/bokami a,b. Będzie wyglądało to mniej więcej tak: (WZR1.1)

Zachodzi wtedy wzór:

cos c = cos b · cos a + sin b · sin a · cos C
To właśnie postaramy się udowodnić. Nazwijmy wektorem centralnym (na powyższym zdjęciu są czarne) taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej (sfery o promieniu 1). Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn. Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli:

xy = cos c
xz = cos b
yz = cos a
Jeśli mamy dwa punkty na sferze, będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako
(x) X (y). Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka:

|x × y| = sin c
|x × z| = sin b
|y × z| = sin a
Rozważmy wyrażenie:

(x × z)(z × y)
Z jednej strony powyższy iloczyn skalarny ma wartość równą iloczynowi długości obu czynników oraz cosinusowi kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x, z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach z, y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy C:

(x × z)(z × y) = |x × z| · |y × z| · cos C = sin b · sin a · cos C
Z drugiej strony, na mocy tożsamości Lagrange’a, wyglądającego tak:

(p × q)(r × s) = pr · qs - qr · ps
Otrzymujemy:

(x × z)(y × z) = xy · zz - zy · xz = cos c - cos a · cos b
Porównując obie strony (czerwone) wychodzi nam:

cos c - cos b · cos a = sin b · sin a · cos C
cos c = cos b · cos a + sin b · sin a · cos C

Kontynuując, zajmijmy się teraz wzorami sinusów. Wyrażają one związek między dwoma bokami i dwoma przeciwległymi kątami trójkąta sferycznego.

Sinusy boków trójkąta sferycznego są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów.

Również i to postaramy się udowodnić. Tak jak wcześniej, wyprowadzenie wzorów na podstawie teorii rzutów znajduje się w w/w książce. My skupimy się na dowodzie za pomocą wektorów. Narysujmy trójkąt sferyczny, wraz z wektorami centralnymi, których końce są punktami trójkąta sferycznego XYZ. Będzie to wyglądało tak: (WZR2.0)

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli:

xy = cos c
yz = cos b
yz = cos a

Jeśli mamy dwa punkty na sferze, będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako
(x) X (y). Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka:

|x × y| = sin c
|x × z| = sin b
|y × z| = sin a
Rozważmy wyrażenie:

(x × z)(z × y)
Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest równy α. Czyli:

|(z × x) × (x × y)| = |z × x| · |x × y| · sin α = sin b · sin c · sin α
Z drugiej strony na mocy własności:

p × (q × r) = q(pr) - r(pq)
Otrzymujemy:

(z × x) × (x × y) = x((z × x)y) - y((z × x)x) = x((z × x)y)
Ponieważ:

(z × x)x = 0
Więc ostatecznie będzie to wyglądało następująco:

|(z × x) × (x × y)| = (z × x)y
Teraz ponownie spójrzmy na rysunek:

Ponieważ dla iloczynu mieszanego (z × x)y zachodzi:

(z × x)y = sin b · sin h
gdzie h jest długością wysokości trójkąta sferycznego opuszczonej na bok b, to dostajemy zależność:

sin b · sin c · sin α = sin b · sin h
co po uproszczeniu wygląda następująco:

sin c · sin α = sin h
Prowadząc analogicznie rozważania dla wyrażenia:

(y × z) × (z × x)
dostajemy zależność: sin a · sin γ = sin h
Jeżeli porównamy oba czerwone wzory (są równe tej samej wartości sin h), dostajemy wzór sinusów często spotykany w astronomii:

sin c · sin α = sin a · sin γ
A po przekształceniach otrzymujemy:

Kolejną rzeczą będą wzory o pięciu elementach. Wzory tej grupy wiążą pięć elementów trójkąta sferycznego: trzy boki i dwa kąty, lub trzy kąty i dwa boki.

sin b · cos A = sin c · cos a - cos c · sin a · cos B
sin c · cos B = sin a · cos b - cos a · sin b · cos C
sin a · cos B = sin c · cos b - cos c · sin b · cos A
sin b · cos C = sin a · cos c - cos a · sin c · cos B
sin c · cos A = sin b · cos a - cos b · sin a · cos C
Tym razem wyprowadzimy wszystkie 5 wzorów na podstawie teorii rzutów. Narysujmy trójkąt sferyczny ABC. Połączmy wierzchołki trójkąta ze środkiem kuli O. Z wierzchołka B poprowadźmy prostopadłe do płaszczyzny koła wielkiego przechodzącego przez pozostałe dwa wierzchołki trójkąta A i C, oraz do promieni łączących te wierzchołki ze środkiem kuli. Niech tymi prostopadłymi będą BD, BE i BF. Łącząc spodki tych prostopadłych prostymi ED i FD, otrzymujemy linię łamaną OEDF i zamykający ją bok OF. Otrzymaną linię łamaną rzutujemy na oś rzutów obraną na boku zamykającym.
Będzie to wyglądało tak: (WZR2.7)

Zacznijmy więc wyprowadzenie wzorów. Skupmy się na czworokącie DEOF. Uważamy DF za bok zamykający. Na podstawie pierwszego twierdzenia o rzutach mamy:

rzDF = rzFO + rzOE + rzED
Przyjmując zamykający bok DF za oś rzutów otrzymujemy:

rzDF = sin a · cos C
rzFO = cos a · cos 90^o = 0
rzOE = cos c · cos(90^o - b) = cos c · sin b
rzED = sin c · cos A · cos(180^o - b) = -sin c · cos b · cos A
Po podstawienu wartości rzutów otrzymujemy ostatecznie

sin a · cos C = sin b · cos c - cos b · sin c · cos A
Iloczyn sinusa boku przez cosinus kąta przylegającego jest równy różnicy iloczynu sinusa drugiego boku obejmującego ten kąt przez cosinus trzeciego boku i iloczynu cosinusa boku obejmującego kąt przez sinus trzeciego boku i cosinus kąta leżącego naprzeciw pierwszego boku.
Wzór ten nazywa się inaczej wzorem na sinus boku przez cosinus kąta. Wzorów tych będzie sześć, bo tyle wynosi liczba kombinacji z sześciu elementów (trzy kąty i trzy boki) po dwa. Wzory te łatwo wypisać stosując kołowe przedstawienie elementów.

W uzyskanym wyżej wzorze otrzymujemy dalsze dwa wzory, a potem, po wypisaniu wzoru dla drugiego kąta przylegającego otrzymamy z niego przez kołowe przedstawienie elementów dalsze dwa wzory:

sin b · cos A = sin c · cos a - cos c · sin a · cos B
sin c · cos B = sin a · cos b - cos a · sin b · cos C
sin a · cos B = sin c · cos b - cos c · sin b · cos A
sin b · cos C = sin a · cos c - cos a · sin c · cos B
sin c · cos A = sin b · cos a - cos b · sin a · cos C

Gdy związek między trzema bokami i trzema kątami mamy za sobą, kontynuujmy zajmując się wzorami wyrażającymi związki między trzema kątami i dwoma bokami trójkąta sferycznego. Składają się ze wzorów, które wyprowadziliśmy wyżej, oraz ze stosunków między sinusami boków i przeciwległych kątów trójkąta:

sin α · cos B = cos b · sin c - sin b · cos c · cos A
Jeżeli połączymy te związki, wychodzi nam:

m · sinA · cos B = m · cos b · sin C - m · sin B · cos C · cos A
Z czego ostatecznie wychodzi nam:

sin C · cos b = sin A · cos B + cos A · sin B · cos c
Ten wzór jest nazywany wzorem na sinus kąta przez cosinus boku. Takich wzorów będzie sześć. Można je wypisać analogicznie do wcześniejszych wzorów stosując kołowe przedstawienie elementów. Powyższy stosunek można sformułować następująco:

Iloczyn sinusa kąta przez cosinus boku przylegającego jest równy sumie iloczynu sinusa drugiego kąta przylegającego do tego boku przez cosinus trzeciego kąta i iloczynu cosinusa tegoż przylegającego kąta przez sinus trzeciego kąta i cosinus boku przeciwległego do pierwszego kąta.

Kolejną rzeczą będą wzory odwrotne względem wzorów na cosinus boku - wzoy na cosinus kąta. Ta grupa wzorów określa związek między trzema kątami i jednym bokiem. Wzory wyglądają następująco:

cos A = - cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos B = - cos C · cos A + sin C · sin A · cos b
cos C = - cos A · cos B + sin A · sin B · cos c

W trójkącie sferycznym cosinus kąta jest równy sumie iloczynu cosinusów dwóch kątów ze znakiem ujemnym oraz iloczynu sinusów tych kątów przez cosinus boku leżącego naprzeciw pierwszego kąta.
Jeden z tych wzorów wyprowadzimy przez zastosowanie trójkąta biegunowego. (Resztę oczywiście można wyznaczyć analogicznie, bądź przez kołowe przestawienie elementów). Załóżmy, że trójkąt DEF jest biegunowy względem trójkąta ABC: (WST3.1)

Dla trójkąta DEF zachodzi wzór:

cos d = cos e · cos f + sin e · sin f · cos D
Przechodząc do trójkąta sferycznego ABC otrzymujemy:

cos(180^o- A) = cos(180^o- B) · cos(180^o- C) + sin(180^o- B) · sin(180^o- C) · cos(180^o- a)
Po zredukowaniu funkcji trygonometrycznych i odwróceniu znaków otrzymujemy:

cos A = - cosB · cos C + sin B · sin C · cos a

Zajmijmy się teraz wzorami o czterech elementach, często nazywanymi wzorami cotangensowymi. Są one związkami miedzy dwoma bokami trójkąta sferycznego, kątem zawartym miedzy nimi, oraz jednym z kątów przylegających. Wyglądają one następująco:

sin a · ctg b - sin C · ctg B = cos a · cos C
sin b · ctg c - sin A · ctg C = cos b · cos A
sin b · ctg a - sin C · ctg A = cos b · cos C
sin c · ctg b - sin A · ctg B = cos c · cos A
sin a · ctg c - sin B · ctg C = cos a · cos B

Wzory wyprowadzimy na podstawie wzorów o pięciu elementach i związku między bokami trójkąta sferycznego a przeciwległymi kątami:

sin b · cos A = cos a · sin c - sin a · cos c · cos B
sin b · sin A = sin a · sin B
Dzieląc stronami jedno równanie przez drugie, otrzymujemy:

ctg A · sin B = sin c · ctg a - cos c · cos B
Co ostatecznie daje nam:

sin c · ctg a - sin B · ctg A = cos c · cos B
Źródła wiedzy:
- N. Stiepanow - Trygonometria Sferyczna (1960)
- https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_sinusów
- https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_cosinusów
- Wykłady dr hab. Leszka Smolarka dostepne na jego stronie internetowej tutaj
- http://www.zsi.slupsk.pl/files/uczen_zdolny/geometria.pdf

Dziękuję za uwagę

5. Podstawowe wzory