Szereg Fouriera

Na świecie wiekszość generowanych dźwięków ma charakter bardziej złożony niż drgania harmoniczne, jakimi są sinusoida i cosinusoida. Istnieje jednak pewna technika zwana analizą harmoniczną lub analizą Fouriera, która pozwala drgania okresowe o dowolnym kształcie przedstatić jako sumę drgań harmonicznych. Technika ta polega na przedstawieniu funkcji czasu f(t) jako sumy nieskończonego szeregu trygonometrycznego, którego wyrazy są funkcjami najczęściej sinus (rzadziej cosinus). Jeżeli funkcja f(t) zmienia się okresowo z okresem T, to pierwszy wyraz szeregu ma częstotliwość ω = 2π/T, zwaną częstotliwością podstawową. Kolejno powstają częstotliwości harmoniczne będące całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej, czyli 2ω, 3ω, 4ω, 5ω (...). Ważne jest to, że żadne z tych drgań nie może mieć częstotliwości mniejszej od ω (częstotliwości podstawowej) ani częstotliwości nie będącej całkowitą wielokrotnością ω. Poniżej przedstawiona jest ilustracja rozkładu drgania złożonego na składowe Fouriera:

Przechodząc stricte do Szeregu Fouriera przyjmuje on postać:

Gdzie współczynniki a₀, a_n i b_n noszą nazwę współczynników Fouriera:

Widać zatem, że potrafiąc wyliczyć współczynniki Fouriera, jesteśmy w stanie obliczyć rozkład określonego drgania w Szereg Fouriera.

Analiza harmoniczna

Codziennie dookoła nas co milisekundy pojawiają różnorakie dźwięki. Jedne z nich są proste np. odgłos budzika, inne natomiast są bardziej złożone jak np. muzyka w radiu. Niesamowite jest to, że każdy z tych dźwięków jesteśmy w stanie rozłożyć na czynniki pierwsze. Można to niejako porównać do próby rozłożenia wielomianu na pojedyncze jednomiany. Analiza harmoniczna działa niemalże identycznie. Polega ona przedstawieniu funkcji ciągłej (każdy dźwięk można traktować jako funkcję ciągłą) jako sumy odpowiednio dobranych funkcji sinusoidalych. Do synonimów tego terminu możemy również zaliczyć analizę (częstotliwością, widmową, fourierowską).

Definicja bardziej matematyczna

Problemowi, czy Szereg Fouriera funkcji okresowej o okresie 2π, całkowalnej w przedziale [0, 2π], jest zbieżny do tej funkcji, można więc nadać następującą interpretację fizyczną: czy ruch okresowy określony wzorem y = f(x), gdzie x ∈ [0, 2π] oznacza czas i f(x) = f(x+2π), daje się rozłozyć na ruchy harmoniczne proste y = a_ncos nx + b_nsin nx, n = 1, 2, ..., o okresach 2π/n, n = 1, 2, ... Rozkład taki nazywamy analizą harmoniczną. Jeśli rozkład istnieje, to linia falowa y = f(x) jest rozkładalna na fale sinusoidalne o dłg. 2π/n, n = 1, 2, ...

Zastosowania w muzyce

Dzięki analizie widma dźwięku istnieje wtyczka vst, która nosi nazwę spectrum (wykres widmowy dźwięku). Jest to jedna z najważniejszych wtyczek używanych w produkcji muzyki elektronicznej. Zbudowana jest na wykresie częstotliwości (najczęściej pod postacią funkcji logarytmicznej) do natężenia dźwięku podanego w decybelach (dB). Pozwala ona nam zobaczyć widmo podzielone na sekcje bas, mids i highs (podane w Hz).

Właściwie w 99% przypadków używana w aspekcie miksu i masteringu utworu. Spektrum danego dźwięku to nic innego jak szereg fal sinusoidalnych zachowujących przykazania Szeregu Fouriera. Ponieżej przedstawiona jest wtyczka vst spektrum dźwięku:

Również z widmem dźwięku spotkamy się w korektorach graficznych (equalizatorach), które służą do podbijania/ucinania wybranych, przez nas częstotliwości z wykresu częstotliwości. Wykresy spectrum dźwięku i equalizatory pomogą nam zrozumieć jak dokładnie działa analiza harmoniczna. Poniżej przedstawiony jest jeden z najpopularniejszych equalizatorów masteringowych:

Z obserwacji widma, często jest łatwiej sobie uzmysłowić jak dany rozkład wygląda. Jest nam o wiele łatwiej dostrzec nieporządane częstotliwości, a następnie je wyciąść.

Synteza harmoniczna

Warto też przyjrzeć się procesowi odwrotnemu, czyli składaniu dźwięku z fal sinusoidalnych, zwanego też syntezą harmoniczną. Sinus nie bez powodu jest okrzyknięty falą wyjątkową. Bowiem to na jego bazie zbudowane są wszystkie dźwięki jakie słychymy. Niesamowite jest to, że to właśnie z fal sinusoidalnych jesteśmy w stanie otrzymać falę np. square, która jest tak niepodobna do sinusa. Poniżej przedstawona jest ilustracja graficzna tworzenia drgania piłokształtnego, jako sumy wyrazów Szeregu Fouriera:

Powyższy przykład to najprostszy sposób wytłumaczenia syntezy harmonicznej. Funkcja czasu f(t) to nic innego jak uniwersalny zapis Szeregu Fouriera. Sin(t) to nasza główna składowa fala sinusoidalna, do której zaczynamy dodawać kolejne fale sinus o większej częstotliwości i zmiejsznej amplitudzie. Prowadząc ten szereg wystarczająco długo jesteśmy w stanie utworzyć właśnie falę piłokształtną.

Syntezatory

W produkcji muzyki ciężko jest się nie spotkać z syntezatorami, którymi generujemy dźwięk na podstawie przebiegu fali (syntezatory wavetable), oraz wczytanych przez nas próbek dźwiękowych (sampli). Działanie syntezatora też niejako można podpisać pod Szereg Fouriera, ponieważ większość z nich wykorzystuje algorytmy syntezy harmonicznej do produkcji określonego przez nas dźwięku. Poniżej zamieszczony jest screen jednego z najpopularniejszych syntezatorów wavetable (spire):

Muzyczny dowód szeregu Fouriera

Eksploruj