Podstawowe pojęcia szkolne

W całej pracy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ będziemy oznaczać przez $o(O,r)$.

Naszą przygodę zaczniemy od przedstawienia definicji stycznej do okręgu, siecznej okręgu, cięciwy okręgu oraz szczególnych kątów w okręgu.

styczna do okręgu

Prostą, która posiada dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem nazywamy styczną. Punkt należący zarówno do okręgu, jak i do stycznej nazywamy punktem styczności prostej i okręgu.

sieczna okręgu

Prostą, która posiada dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem nazywamy sieczną okręgu.

cięciwa okręgu

Odcinek łączący dowolne dwa punkty na okręgu nazywamy cięciwą okręgu.

kąt środkowy

Kąt, którego wierzchołek jest środkiem koła, nazywamy kątem środkowym koła.

kąt wpisany

Kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta, nazywamy kątem wpisanym w okrąg.

kąt dopisany

Kąt wypukły, wyznaczony przez styczną do okręgu oraz półprostą zawierającą cięciwę mającą początek w punkcie styczności, nazywamy kątem dopisanym do okręgu.

Powyższe pojęcia zostały pokazane w poniższym applecie.

Czy dostrzegasz może jakieś wzajemne zależności?

o kącie środkowym i kącie wpisanym

Jeżeli kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest o połowę mniejsza od miary kąta środkowego.

o kącie środkowym i kącie wpisanym

Sytuacja z treści twierdzenia jest przedstawiona na poniższej aktywności

Korzystając z powyższego apletu możemy zauważyć trzy możliwe położenia środka okręgu, a w związku tym i średnicy z punktu $A$ względem ramion kąta mającego wierzchołek w tym punkcie, czyli kąta wpisanego.

⋅ Średnica pokrywa się z jednym z ramion kąta wpisanego
Zwróćmy uwagę, że odcinki $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OC}$ są promieniami, czyli mają tą samą długość, z czego wynika, że $△\mathrm{OAC}$ jest równoramienny, a więc $\angle \mathrm{BAC}$ jest równy $\angle \mathrm{OCA}$. Należy również zwrócić uwagę, że kąty $\angle \mathrm{BOC}$ i $\angle \mathrm{AOC}$ razem tworzą kąt półpełny, czyli możemy wyprowadzić następującą równość: $\angle \mathrm{AOC}=\mathrm{180°}-\angle \mathrm{BOC}$. Mając wyznaczone kąty w trójkącie $△\mathrm{OAC}$ możemy skorzystać z własności dotyczącej sumy kątów wewnętrznych trójkąta, a mianowicie że jest ona równa $\mathrm{180°}$, co daje nam równanie $\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{BAC}+(\mathrm{180°}-\angle \mathrm{BOC})=\mathrm{180°}$, z którego otrzymujemy tezę
$2\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BOC}$

⋅ Średnica leży na zewnątrz płaszczyzny kąta wpisanego
Zauważmy, że poza rozpatrywanymi kątami $\angle \mathrm{BAC}$ i $\angle \mathrm{BOC}$, na rysunku są również kąty, których wzajemny stosunek jesteśmy wstanie wyznaczyć, czyli $\angle \mathrm{A\prime AB}$ i $\angle \mathrm{A\prime OB}$, ponieważ taka sytuacja została dowiedziona w poprzednim przypadku, co więcej jesteśmy w stanie pójść o krok dalej i określić wzajemny stosunek poszczególnych sum kątów $\angle \mathrm{A\prime AB}+\angle \mathrm{BAC}$ oraz $\angle \mathrm{A\prime OB}+\angle \mathrm{BOC}$. Daje to nam dwa równania:
$2\angle \mathrm{A\prime AB}=\angle \mathrm{A\prime OB}$
$2(\angle \mathrm{A\prime AB}+\angle \mathrm{BAC})=\angle \mathrm{A\prime OB}+\angle \mathrm{BOC}$
Po podstawieniu $\angle \mathrm{A\prime OB}$ otrzymujemy równanie
$2\angle \mathrm{A\prime AB}+2\angle \mathrm{BAC}=2\angle \mathrm{A\prime AB}+\angle \mathrm{BOC}$
$2\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BOC}$

⋅ Średnica leży wewnątrz płaszczyzny kąta wpisanego
Zauważmy, że rozpatrywane kąty $\angle \mathrm{BAC}$ i $\angle \mathrm{BOC}$ możemy rozłożyć na rysunku na dwie pary kątów mający wspólnie ramię z cięciwą, $\angle \mathrm{A\prime OB},\angle \mathrm{A\prime OC},\angle \mathrm{A\prime AB},\angle \mathrm{A\prime AC}.$
Korzystając z pierwszego przypadku otrzymujemy równania:
$\angle \mathrm{A\prime OB}=2\angle \mathrm{A\prime AB}$
$\angle \mathrm{A\prime OC}=2\angle \mathrm{A\prime AC}$
Sumując stronami
$\angle \mathrm{A\prime OB}+\angle \mathrm{A\prime OC}=2(\angle \mathrm{A\prime AB}+\angle \mathrm{A\prime AC})$
$2\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BOC}$

o kącie wpisanym i kącie dopisanym

Jeżeli kąt wpisany i kąt dopisany są oparte na tym samym łuku, to są równe.

o kącie wpisanym i kącie dopisanym

Sytuacja ta jest przedstawiona na poniższej aktywności.

Wspomóżmy się kątem $\angle \mathrm{CA\prime B}$, tak aby odcinek $\mathrm{BA\prime }$ był średnicą okręgu.
Kąty $\angle \mathrm{BAC}$ i $\angle \mathrm{BA\prime C}$ są kątami opartymi na tym samym łuku, a więc mają tą samą miarę.
Wyznaczmy teraz kąty wewnątrz trójkąta $△\mathrm{BA\prime C}$
$\angle \mathrm{BA\prime C}=\angle \mathrm{BAC}$
$\angle \mathrm{A\prime CB}=\mathrm{90°}$
$\angle \mathrm{CBA\prime }=\mathrm{90°}-\angle \mathrm{BA\prime C}$
Prosta $\mathrm{BE}$ jest styczna do okręgu w punkcie $B$, więc $\angle \mathrm{A\prime BE}=\mathrm{90°}$.
$\angle \mathrm{CBA\prime }+\angle \mathrm{CBE}=\mathrm{90°}$
$\mathrm{90°}-\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CBE}=\mathrm{90°}$
$\angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{BAC}$

o siecznej i stycznej

Jeżeli przez punkt $P$, który leży na zewnątrz okręgu $o(O,r)$, poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie $A$ i sieczną przecinającą okrąg w punkcie $B$ i $C$, to ${\left|\mathrm{PA}\right|}^2={\left|\mathrm{PB}\right|\cdot \left|\mathrm{PC}\right|}_{}$.

o siecznej i stycznej

Zaznaczając opcję w powyższym applecie wyróżniamy omawiane figury.
Zwróćmy uwagę, że odcinki $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$ są promieniami, czyli mają tą samą długość, z czego wynika, że trójkąt $△\mathrm{AOB}$ jest równoramienny, a więc kąt $\angle \mathrm{BAO}$ jest równy $\angle \mathrm{ABO}$.
Ze względu na to, że punkt $A$ jest punktem styczności, $\angle \mathrm{PAO}$ jest kątem prostym, czyli $\mathrm{90°}=\angle \mathrm{PAO}=\angle \mathrm{PAB}+\angle \mathrm{BAO}$, z czego $\angle \mathrm{BAO}=\mathrm{90°}-\angle \mathrm{PAB}$.
Suma kątów w trójkącie $△\mathrm{AOB}$ to $\angle \mathrm{AOB}+2\angle \mathrm{BAO}=\mathrm{180°}$.
Po podstawieniu kąta $\angle \mathrm{BAO}$ otrzymujemy $\angle \mathrm{AOB}+2(\mathrm{90°}-\angle \mathrm{PAB})=\mathrm{180°}$
$\angle \mathrm{BOA}=2\angle \mathrm{PAB}$
Teraz rozpatrzmy trójkąty $△\mathrm{PAB}$ i $△\mathrm{PAC}$.
Oczywistym jest że $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APC}$.
Przed chwilą udowodniliśmy, że kąt dopisany $\angle \mathrm{PAB}$ jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na łuku $\mathrm{AB}$. Ponieważ na tym samym łuku oparty jest kąt wpisany $\angle \mathrm{ACB}$ to on również jest dwukrotnie mniejszy od kąta $\angle \mathrm{BOA}$.
$2\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{BOA}=2\angle \mathrm{ACB}$
$\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{ACB}$
A więc, zgodnie z zasadą kąt-kąt, trójkąty $△\mathrm{PAB}$ i $△\mathrm{PAC}$ są podobne.
Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcjonalność odpowiednich odcinków:
$\frac{\left|\mathrm{PA}\right|}{\left|\mathrm{PB}\right|}=\frac{\left|\mathrm{PC}\right|}{\left|\mathrm{PA}\right|}$
Skąd otrzymujemy
${\left|\mathrm{PA}\right|}^2=\left|\mathrm{PB}\right|\cdot \left|\mathrm{PC}\right|$
Zauważmy, że ta równość nie zależy od wyboru siecznej, co pozwala sformułować nam następujący wniosek.

o siecznych

Jeżeli przez punkt $P$, który leży na zewnątrz okręgu $o(O,r)$, poprowadzimy dwie sieczne przecinające okrąg w punktach $A,B$ i $C,D$, to $\left|\mathrm{PA}\right|\cdot \left|\mathrm{PB}\right|=\left|\mathrm{PC}\right|\cdot \left|\mathrm{PD}\right|$.

o siecznych

Twierdzenie to wynika bezpośrednio z twierdzenia o siecznej i stycznej

o cięciwach

Jeśli cięciwy $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{CD}$ okręgu przecinają się w puncie $P$, to ${\left|\mathrm{PA}\right|\cdot \left|\mathrm{PB}\right|}_{}={\left|\mathrm{PC}\right|\cdot \left|\mathrm{PD}\right|}_{}$

o cięciwach

Zaznaczając opcję w powyższym applecie wyróżniamy omawiane figury. Oczywistym jest że kąt $\angle \mathrm{APC}$ jest równy kątowi $\angle \mathrm{BPD}$, ponieważ są to kąty wierzchołkowe.
Kąty $\angle \mathrm{ACD}$ oraz $\angle \mathrm{ABD}$ są kątami wpisanymi opartymi o ten sam łuk, czyli są równe.
W związku z tym zgodnie z zasadą kąt-kąt, trójkąty $△\mathrm{APC}$ i $△\mathrm{BPD}$ są podobne.
Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcjonalność odpowiednich odcinków:
$\frac{\left|\mathrm{PA}\right|}{\left|\mathrm{PC}\right|}=\frac{\left|\mathrm{PD}\right|}{\left|\mathrm{PB}\right|}$
Skąd otrzymujemy tezę twierdzenia.
$\left|\mathrm{PA}\right|\cdot \left|\mathrm{PB}\right|=\left|\mathrm{PC}\right|\cdot \left|\mathrm{PD}\right|$

Dla zainteresowanych, applet w geogebrze ilustrujący równości z ostatnich twierdzeń.