Potęga punktu

potęga punktu względem okręgu

Potęgą dowolnego punktu $A$ względem okręgu $o(O,r)$nazywamy liczbę
$\Pi (A,o)={\mathrm{AO}}^2-r^2$ .

Korzystając z powyższego apletu punktu możemy zauważyć następującą własność.

wartość potęgi punktu

Dla punktów leżących na zewnątrz okręgu potęga punktu ma wartość dodatnią tzn. $\Pi (A,o)>0$
Dla punktów leżących na okręgu potęga punktu jest równa zeru tzn. $\Pi (A,o)=0$
Dla punktów leżących wewnątrz okręgu potęga punktu ma wartość ujemną tzn. $\Pi (A,o)<0$

punkt $A$ na zewnątrz okręgu

Niech punkt $A$ znajduje się na zewnątrz okręgu $o(O,r)$. Jeśli punkty $B$, $C$ są różnymi punktami styczności dla stycznych przecinających się w punkcie $A$, a punkty $D$ i $E$ są punktami wspólnymi prostej $\mathrm{AO}$ i okręgu $o$ to
$\Pi (A,o)={\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}$.

o potędze punktu $A$ na zewnątrz okręgu

Na początku udowodnijmy dwie pierwsze równości.
Rozważmy trójkąt prostokątny $△\mathrm{OAB.}$ Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${\mathrm{AO}}^2={\mathrm{AB}}^2+r^2$, skąd widać
${\mathrm{AO}}^2-r^2={\mathrm{AB}}^2$.
a wykorzystując własność z twierdzenia o siecznej i stycznej dostajemy ostatnią równość
${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}$. Warto zauważyć, że ostatnia równość nie zależy od wyboru siecznej.

punkt $A$ wewnątrz okręgu

Niech punkt $A$ znajduje się wewnątrz okręgu $o(O,r)$. Jeśli punkty $B$, $C$ są końcami najkrótszej możliwej cięciwy przechodzącej przez punkt $A$, a punkty $D$ i $E$ są punktami wspólnymi prostej $\mathrm{AO}$ i okręgu $o$, to
$\Pi (A,o)={\mathrm{-AB}}^2={\mathrm{-AC}}^2={\mathrm{-DA}}^{}\cdot {\mathrm{AE}}^{}$

o potędze punktu $A$ wewnątrz okręgu

Pierwsze równości dowodzimy analogicznie jak wcześniej.
Rozważmy trójkąt prostokątny $△\mathrm{OAB}$. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${\mathrm{AO}}^2+{\mathrm{AB}}^2=r^2$, czyli
${\mathrm{AO}}^2-r^2={\mathrm{-AB}}^2$.
Zauważmy, że $\mathrm{DA}=r-\mathrm{AO}$, $\mathrm{AE}=r+\mathrm{AO}$, więc
$-\mathrm{DA}\cdot \mathrm{AE}=-(r-\mathrm{AO})(r+\mathrm{AO})=-(r^2-{\mathrm{AO}}^2)={\mathrm{AO}}^2-r^2=-{\mathrm{AB}}^2$
Twierdzenie o cięciwach zapewnia nam równość niezależnie od wyboru cięciw przecinających się w punkcie $A$.

Powyższy applet dotyczy obu ostatnich twierdzeń, wystarczy umieścić punkt $A$ w odpowiednim miejscu względem okręgu.