Rodzaje liczb pierwszych

Liczby pierwsze Mersenne'a

W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrzył możliwość istnienia liczb pierwszych w postaci 2ⁿ-1, gdzie n jest liczbą nieujemną całkowitą.

Stwierdził bez dowodu, że 2ⁿ-1 jest liczbą pierwszą dla n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 i nie jest nią dla żadnej inne wartości n mniejszej od 257. Dziś wiemy, że francuz pominął n = 61,89,107 i błędnie określił jako liczby pierwsze liczby dla n = 67,257, jednak warto zauważyć, że Francuz wyznaczył te liczby bez użycia żadnych komputerów ani kalkulatorów.

Aktualnie poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne'a zajmuje się GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search). Projekt wykorzystuje obliczenia rozproszone, dzięki czemu każdy użytkownik może udostępnić moc obliczeniową swojego komputera, aby dołożyć swoją cegiełkę do poszukiwania kolejny liczb pierwszych.

To co ułatwia sprawdzanie pierwszości liczb Mersenne'a jest to, że liczby te w zapisie binarnym złożone są z samych jedynek co ułatwia komputerom sprawdzenie ich pierwszości, dzięki czemu dzisiaj ośmioma największymi znanymi liczbami pierwszymi są właśnie Liczby Mersenne’a.

Aktualnie najbardziej wydajnym algorytmem wykorzystywanym między innymi przez GIMPS dla sprawdzenia pierwszości liczb Mersenne’a jest test Lucasa-Lehmera.

Inną ciekawą cechą liczb pierwszych Mersenne’a jest to, że są one bezpośrednio związanie z odnajdywaniem kolejnych liczb doskonałych, ponieważ występują we wzorze, który je generuje: 2^n-1*(2ⁿ-1) , gdzie wyrażenie 2ⁿ - 1 to liczba pierwsza Mersenne’a.Dzięki temu, przy odkryciu kolejnej nowej największej liczby pierwszej Mersenne’a odkrywana jest również największa liczba doskonała, którą aktualnie jest liczba: 2^82589932*(2^82589933 - 1), której rozwinięcie dziesiętne liczy aż 24 862 048 cyfr!

Aktualnie nie wiadomo czy liczb pierwszych Mersenne'a jest nieskończenie wiele. Na dziś znamy 51. Aby wyświetlić tabele liczb pierwszych Mersenne'a wpisz poniżej ile liczb wyświetlić.

Podaj ile liczb pierwszych Mersenne’a mam wypisać:

Zdjęcie Marina Mersenne'a — Marin Mersenne

Liczby Fermata

Liczby Fermata to liczby naturalne w postaci F_n = 2^2ⁿ + 1, gdzie n jest liczbą nieujemną całkowitą.

Fermat zakładał, że wszystkie liczby w postaci F_n = 2^2ⁿ + 1 są pierwsze. Co prawda początkowe liczby Fermata F₀,...,F₄ są liczbami pierwszymi, jednakże w roku 1732 Leonhard Euler wykazał, że F₅ = 4294967297 = 641 * 6700417, co oznacza, że F₅ jest liczbą złożoną.

Na dzisiaj nie wiemy czy jest więcej liczb pierwszych Fermata.

Zdjęcie Pierre de Fermat — Pierre de Fermat

Liczby bliźniacze

Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykłady takich liczb:

3 i 5
5 i 7
59 i 62

Na dzisiaj dwoma największymi liczbami bliźniaczymi są: 2996863034895·2^1290000+1 i 2996863034895·2^1290000-1.

Liczby czworacze

Liczby czworacze to liczby pierwsze w postaci: p, p+2, p+6, p+8. Widać również, że jest to para liczb bliźniaczych w najbliższym sąsiedztwie. Łatwo też zauważyć, że oprócz pierwszej czwórki, zawsze ostatnimi cyframi takich liczb są odpowiednio: 1, 3, 7, 9.

Przykład wszystkich liczb czworaczych mniejszych od 10000:

5,7,11,13
11,13,17,19
101,103,107,109
191,193,197,199
821,823,827,829
1481,1483,1487,1489
1871,1873,1877,1879
2081, 2083, 2087, 2089
3251, 3253, 3257, 3259
3461, 3463, 3467, 3469
5651, 5653, 5657, 5659
9431, 9433, 9437, 9439

Liczby pierwsze Germain

Liczbę pierwszą p nazywamy liczbą Sophie Germain jeżeli liczba 2p + 1 również jest liczbą pierwszą. Przykładem takiej liczby jest 23, ponieważ 23 jest liczbą pierwszą oraz 2 * 23 + 1 = 47 również jest liczbą pierwszą.

Liczby pierwsze lustrzane

Są to liczby pierwsze, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr drugiej w odwrotnej kolejności. Przykładami takich liczb są:

13 i 31
17 i 71

Liczby pierwsze palindromiczne

To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady:

11
101
131
191
929