Rozmieszczenie liczb pierwszych
Spirala Ulama
Według historii w 1963 roku polski matematyk Stanisław Ulam podczas bardzo długiego i nudnego wykładu zaczął na kartce wypisywać kolejne liczby naturalne 1, 2, 3,... w kształt spirali, którą można zobaczyć na zdjęciu poniżej.
(Zródło zdjęcia : Wikipedia Commons, licencja: Public Domain)
W kolejnym kroku na tej spirali postanowił zaznaczyć wszystkie liczby pierwsze. Jego oczom ukazała się pewna bardzo ciekawa tendencja - liczby pierwsze często układały się na liniach diagonalnych / przekątnych. Najlepiej widać to na większej spirali z większą ilością liczb. Poniżej można zobaczyć spiralę 200 x 200 zawierającą 40 000 liczb.
Źródło zdjęcia : Wikipedia Commons, autor: Grontesca, licencja: CC BY-SA 3.0)
Widać bardzo ciekawą zależność, że na niektórych przekątnych liczby pierwsze częściej się grupują niż na innych. Mimo upływu 58 lat nadal nikt nie wyjaśnił tego zjawiska.
Gęstość liczb pierszych
Po mimo tysiąca lat badań nad liczbami pierwszymi, wyrózniają się one cały czas tajemniczą losowością. Wydawało by się, że liczby pierwsze występują bardzo chaotycznie, ponieważ raz można spotkać tzw. liczby pierwsze bliźniacze różniące się o 2 takie jak np: 3 i 5, a takzę można znaleźć parę liczb pierwszych taką jak: 31397 i 31468, pomiędzy którymi odstęp wynosi 72 liczby i pomiędzy nimi nie ma żadnych innych liczb pierwszych.
Pojawia się więc pytanie, czy istnieje możliwość określenia poprzez wzór gęstości występowania liczb pierwszych. W 1896 roku Jacques Salomon Hadamard i Charles Jean de la Vallée Poussin określili, że dla dużych liczb N wśród liczb 1, 2, 3, ...N jest w przybliżeniu N/ln(N) liczb pierwszych (ln we wzorze oznacza logarytm naturalny, czyli taki który w podstawie ma liczbę Eulera e = 2,718281828......
Wiadomym jest, że żaden wzór nie będzie idealnie wskazywały ilości liczb pierwszych w danym przedziale. Dla wzoru Hadamarda i de la Vallée Poussina średnie odchylenie od rzeczywistej ilości liczb pierwszych dla 2000 punktów pomiarowych w zakresie liczb naturalnych od 1 do 20 000 000 wynosi aż 6,82 %.
Dużo większą precyzją wyznaczania liczb pierwszych cechuje się wzór: N/(ln(N) - 1), który można zapisać również jako: N/ln(N/e). Odchylenie tego wzoru liczone w taki sam sposób jak dla wzoru Hadamard i de la Vallée Poussina wynosi około 0,5 %.
Adrien Marie Legendre podał wzór, który jeszcze precyzyjnie określa występowanie liczb pierwszych: N/(ln(N) - 1,08366). Dla tego wzoru średnie odchylenie wynosi tylko 0,065 %. Wzory te można dalej modyfikować i jeszcze bardziej usprawniać na przykład wzór: N/(ln(N) - 1,0734075) dla którego średnie odchylenie wynosi 0,018 %, jednakże żaden z tych wzorów nie umożliwi uzyskania pełnej precyzji.
Poniższa tabela porównuje wartości uzyskane z powyższych wzór z rzeczywistymi ilościami liczb pierwszych w przedziale od 1 do N
| N | Rzeczywista ilośc liczb pierwszych | Wzór Hadamard i de la Valée-Poussin N/ln(N) | N/(ln(N) - 1) | Wzór Legendre N/(ln(N) - 1,08366)) | N/(ln(N) - 1,0734075)) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ilość LP | Średnie odchylenie | Ilość LP | Średnie odchylenie | Ilość LP | Średnie odchylenie | Ilość LP | Średnie odchylenie | ||
| 10 000 | 1 229 | 1 086 | -11,66 % | 1 218 | -0,90 % | 1 231 | 0,12 % | 1 229 | 0 % |
| 100 000 | 9 592 | 8 686 | -9,45 % | 9 512 | -0,83 % | 9 588 | -0,04 % | 9 579 | -0,14 % |
| 1 000 000 | 78 498 | 72 382 | -7,79 % | 78 030 | -0,60 % | 78 543 | 0,06 % | 78 480 | -0,02 % |
| 10 000 000 | 664 579 | 620 421 | -6,64 % | 661 459 | -0,47 % | 665 140 | 0,08 % | 664 686 | 0,02 % |
| 100 000 000 | 5 761 455 | 5 428 681 | -5,78 % | 5 740 304 | -0,37 % | 5 768 004 | 0,11 % | 5.764.595 | 0,05 % |
