Ruch na płaszczyźnie

3.2 Rzut ukośny

Piłka kopnięta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony przez atletę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po torze krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie prędkości i położenia rzuconego ciała w dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasięgu rzutu.

Jeżeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym g [0, −g]; możemy więc zastosować równania z tabeli (3.1). Ponieważ przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ współrzędnych tak, że x będzie współrzędną poziomą, a y pionową. Ponadto, przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r₀ = 0 oraz, że prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v₀ i tworzy kąt θ z dodatnim kierunkiem osi x (rysunek poniżej).

Rys. 3.2. Składowe prędkości początkowej

Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem) wynoszą odpowiednio

(3.3)

Stąd dla składowej x (poziomej) prędkości otrzymujemy (porównaj z tabelą (3.1)

(3.4)

Ponieważ g_x = 0 (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc

(3.5)

Składowa pozioma prędkości jest stała, ruch w kierunku x jest jednostajny. Natomiast dla składowej pionowej y otrzymujemy

(3.6)

Ponieważ g_y = −g (przyspieszenie jest skierowane "w dół") więc

(3.7)

Wartość wektora prędkości w dowolnej chwili wynosi

(3.8)

Teraz obliczamy położenie ciała w dowolnej chwili t. Ponownie korzystamy z równań z tabeli (3.1) i otrzymujemy odpowiednio

(3.9)

Wartość wektora położenia w dowolnej chwili obliczamy z zależności

(3.10)

Sprawdźmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej y(x). Równania (3.9) przedstawiają zależność x(t) oraz y(t). Równanie y(x) możemy więc obliczyć eliminując czas t z tych równań. Z zależności x(t) obliczamy t, a następnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać

(3.11)

Otrzymaliśmy równanie paraboli (skierowanej ramionami w dół) i taki kształt ma tor ruchu y(x) pokazany na rysunku poniżej.

Rys. 3.3. Parabola rzutu ukośnego

Ćwiczenie
Korzystając z równania (3.11) spróbuj znaleźć zasięg rzutu z oraz określić kąt wyrzutu Sprawdź obliczenia i wynik.

Symulacje komputerowe
Możesz prześledzić jak tor w rzucie ukośnym zależy od prędkości początkowej i kąta wyrzutu korzystając z załączonego programu. Przed uruchomieniem zobacz krótki opis programu. Program można pobrać i zapisać go na dysku twardym własnego komputera.

Gdy mówimy o ruchu prostoliniowym to ewentualne przyspieszenie ciała związane jest ze zmianą wartości prędkości ale nie ze zmianą jej kierunku czy zwrotu. Dlatego mówimy wtedy o przyspieszeniu stycznym . W omawianym rzucie ukośnym zmienia się zarówno wartość prędkości jak i jej kierunek i zwrot. Zanim jednak omówimy ten przypadek zaczniemy od rozpatrzenia prostszej sytuacji gdy wartość prędkości się nie zmienia, a zmienia się jej kierunek i zwrot. Zajmiemy się ruchem jednostajnym po okręgu.