6.1 Prawo powszechnego ciążenia

   Przedstawimy, teraz jedno z czterech podstawowych oddziaływań - oddziaływanie grawitacyjne.

Rozważania dotyczące grawitacji rozpoczniemy od prostego przykładu.

Przykład

Obliczmy stosunek przyspieszenia dośrodkowego Księżyca w kierunku Ziemi do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi.
Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu możemy obliczyć na podstawie równania (3.16)

gdzie RK = 3.86·105 km jest odległością od Ziemi do Księżyca. Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi wynosi T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc aK = 2.73·10-3 m/s2. Natomiast w pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2.

Stosunek tych przyspieszeń

Ponieważ promień Ziemi wynosi RZ = 6300 km to zauważmy, że w granicach błędu

(6.1)

Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami (między ich środkami) maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi. Ponadto zauważył, że skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła przyciągania między każdymi dwoma masami m1 i m2. Na tej podstawie i w oparciu o liczne obserwacje astronomiczne dokonane przez jego poprzedników min. Kopernika, Galileusza, Keplera, Newton sformułował w 1687 r prawo powszechnego ciążenia.

 Prawo, zasada, twierdzenie
Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

(6.2)

To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też tłumaczy ruch planet.

Siła z jaką Ziemia przyciąga jabłko jest taka sama co do wartości jak siła z jaką jabłko przyciąga Ziemię. Pod wpływem tej siły jabłko przyspiesza w kierunku Ziemi (z przyspieszeniem g) i Ziemia przyspiesza w kierunku jabłka (z przyspieszeniem a)

Ponieważ masa Ziemi jest tak wielka (w porównaniu z masą jabłka) przyspieszenie a jest niemierzalnie małe i mówimy, że jabłko spada na Ziemię.

 Rys. 6.1. Oddziaływanie grawitacyjne Ziemia - jabłko.

Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie (6.2) do siły działającej między Ziemią, a ciałem o masie m. Zgodnie z zasadą dynamiki

skąd

(6.3)

gdzie RZ jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi MZ Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą ρZ = 5·103 kg/m3 Dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi ρFe = 7.9·103·kg/m3, a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi ρSi = 2.8·103 kg/m3.

Uwzględniając RZ = 6.37·106 m Newton otrzymał wartość G = 7.35·10-11 Nm2/kg2 co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość 6.67·10-11 Nm2/kg2. Wartość stałej G obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.

Żeby wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi trzeba by zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych w odległości r. Wówczas

Zauważmy jednak, że przykładowo dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość F = 6.67·10-9 N i jest za mała by ją dokładnie zmierzyć standardowymi metodami. Problem pomiaru tak małej siły rozwiązał Cavendish.

Doświadczenie Cavendisha

   W swoim pomiarze Cavendish wykorzystał fakt, że siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo mała. Na takim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi (m) na końcach (rysunek poniżej). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą (M) i zmierzył precyzyjnie kąt α o jaki obrócił się pręt.

Pomiar wykonany metodą Cavendisha dał wartość G = 6.67·10-11 Nm2/kg2. Znając już wartość stałej G, Cavendish wyznaczył masę Ziemi MZ z równania

(6.4)

Cavendish wyznaczył też masę Słońca i masy planet, tych których satelity zostały zaobserwowane.

Przykład

Rozpatrzmy ruch planety o masie m krążącej w odległości R wokół Słońca o masie M. Wtedy siła przyciągania grawitacyjnego wynosi

(6.5)

a ponieważ przyspieszenie w ruchu po okręgu jest dane wyrażeniem

(6.6)

to równanie (6.5) przyjmuje postać

(6.7)

skąd otrzymujemy

(6.8)

Ćwiczenie
Oblicz jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo? Dane są: promień Księżyca RK = 1740 km, jego masa MK = 7.35·1022 kg oraz stała G = 6.67·10−11 Nm2/kg2. Sprawdź obliczenia i wynik.


Ćwiczenie
Korzystając z tego wyrażenia oblicz masę Słońca przyjmując odległość Ziemia – Słońce równą R = 1.5·108 km, oraz okres obiegu T = 1 rok. Porównaj ten wynik z masą Ziemi obliczoną na podstawie równania (6.4). Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? Sprawdź obliczenia i wynik.

e-Fizyka © Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski