7. Praca i energia
• Spis treści  
• Energia kinetyczna  
•   Praca wykonana przez siłę stałą

7.2 Praca wykonana przez siłę zmienną

   Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x₁ do położenia x₂. Jak już mówiliśmy wzór W = F·s pozwala obliczyć pracę dla stałej siły F . Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na rysunkach 7.3 (linia ciągła) trzeba stosować inny algorytm.

 Rys. 7.3a. Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości F_i

Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie x na n jednakowych odcinków Δx tak jak na rysunku. Wewnątrz takiego przedziału Δx przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru (7.1) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale Δx.

gdzie F_i jest wartością siły na i -tym odcinku Δx. Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach otrzymując całkowitą pracę

Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie Δx i wysokości F_i.
Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku  dzielimy przedział (x₁, x₂) na więcej (mniejszych) odcinków Δx, tak jak pokazano na rysunku 7.3b.

 Rys. 7.3b. Zmienna siła F(x) przybliżona ciągiem stałych wartości F_i

Ponownie obliczamy pracę dla każdego odcinka i powtarzamy procedurę sumowania dla otrzymania pracy całkowitej. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił F_i dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji F(x), a co za tym idzie obliczona wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą). Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) Δx → 0. Stosujemy tę samą procedurę obliczając całkowitą pracę

Tak w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą F(x) w zadanym przedziale (patrz rysunek 7.3c). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej  co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

 Rys. 7.3c. Pole powierzchni pod krzywą F(x) jest równe liczbowo pracy wykonanej przez siłę na odcinku x₁

Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach) lub umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą co w szczególnych przypadkach nie jest trudne.

Przykład

Rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą F tak, że jej drugi koniec przemieszcza się o x. Siła wywierana przez sprężynę F_s = − kx  jest siłą przywracającą równowagę. Aby rozciągnąć sprężynę musimy zatem przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną tzn. F = kx.

 Rys. 7.4. Rozciąganie sprężyny siłą F

Znamy już postać funkcji F(x) i możemy teraz korzystając z równania (7.4) obliczyć pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny