Analiza fal złożonych

13.6 Analiza fal złożonych

Ponownie rozpatrzmy drgania poprzeczne struny. Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta, a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze trzy rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane na rysunku-animacji 13.12.

Kliknij w dowolnym miejscu na rysunku żeby uruchomić animację. Ponowne kliknięcie oznacza powrót do początku.

Rys. 13.12. Fale stojąca dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są
zaznaczone niebieskimi liniami, a strzałki czerwonymi

Widzimy, że dla kolejnych drgań . Możemy więc zapisać ogólny związek na długość fali powstającej w strunie

(13.30)

gdzie n = 1, 2, 3, ... Korzystając z tego, że prędkość fali oraz z równania (13.16) na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) możemy obliczyć częstotliwość fal stojących w strunie

(13.31)

Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową , a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.

Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych amplitudach jest pokazane na rysunku 13.11.

Rys. 13.13. Fala wypadkowa będąca złożeniem czterech fal harmonicznych

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).

Zagadnienie przedstawienia dowolnego drgania okresowego jako sumy drgań harmonicznych ujmuje twierdzenie Fouriera

Prawo, zasada, twierdzenie
Dowolne drganie okresowe o okresie T możemy przedstawić jako kombinację liniową (sumę) drgań harmonicznych o okresach danych wzorem T_n = T/n, gdzie n jest liczbą naturalną.

Dotyczy to dowolnej funkcji okresowej więc można na przykład skonstruować za pomocą fal sinusoidalnych (które są wszędzie zakrzywione) przebieg piłokształtny , który jest złożony z odcinków prostych (rysunek 13.14).

Rys. 13.14. Złożenie n = 10 drgań harmonicznych postaci (wykres górny)
oraz pięć pierwszych drgań składowych (wykres dolny)

Ćwiczenie
Innym przykładem jest piszczałka organowa zamknięta, w której źródłem dźwięku jest drgające powietrze. Jeżeli na krawędź otwartego końca piszczałki skierujemy strumień powietrza to można w niej wytworzyć falę stojącą. Na otwartym końcu piszczałki powstaje strzałka, a na jej końcu zamkniętym węzeł. Spróbuj wykreślić, drganie podstawowe i trzy pierwsze drgania harmoniczne jakie powstają w piszczałce zamkniętej. Przyjmując, że długość piszczałki wynosi L, oblicz długości tych fal. Jaki ogólny związek opisuje długości fal stojących w piszczałce zamkniętej? Sprawdź obliczenia i wynik.