Dielektryk w polu elektrycznym - rozważania ilościowe

Rozpatrzmy atom umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E. Wówczas na atom działa siła, która przesuwa chmurę elektronową o r względem jądra atomowego (rysunek 1).

Rys. 1. Sferyczna chmura elektronowa przesunięta zewnętrznym polem elektrycznym względem jądra atomu na odległość r

Wówczas atom ma indukowany moment dipolowy p, a wypadkowe pole elektryczne w miejscu jądra jest sumą pola zewnętrznego i pola od chmury elektronowej

(1)

Jeżeli potraktujemy, w naszym uproszczonym modelu, chmurę elektronową jako jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R to pole elektryczne wytworzone przez chmurę elektronową w odległości r (r < R) od jej środka jest dane wzorem (18.17)

(2)

Ponieważ jądro znajduje się w położeniu równowagi (nie przemieszcza się) więc E_wyp. = 0, skąd dostajemy

(3)

skąd

(4)

Zatem, indukowany moment dipolowy jest równy

(5)

Moment p zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E.

Rozpatrzmy teraz dielektryk, w którym znajduje się N atomów (cząsteczek). Jeżeli każdy atom ma średni moment dipolowy skierowany zgodnie z zewnętrznym polem E to całkowity moment dipolowy

(6)

Z drugiej strony indukowany ładunek q' pojawia się jedynie na powierzchni dielektryka więc dla kondensatora płaskiego, wypełnionego dielektrykiem, którego okładki o powierzchni S są umieszczone w odległości d

(7)

Łącząc te wyrażenia otrzymujemy

(8)

lub

(9)

gdzie n koncentracją atomów (cząsteczek) tj. ilością atomów w jednostce objętości n = N/(Sd). Ostatecznie więc

(10)

Podstawiamy tę wielkość do wzoru na ε_r

(11)

Pokazaliśmy powyżej, że indukowany moment dipolowy p wynosi . Podstawiając do tego wzoru wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w kondensatorze płaskim (wzór 20.14) otrzymujemy

(12)

Wstawiając to wyrażenie do wzoru (11) obliczamy ε_r

(13)

(14)

Otrzymana zależność jest przybliżona ze względu na znaczne uproszczenia przyjętego modelu atomu jednak pokazuje, że przenikalność dielektryczna ε_r jest większa od jedności i że zależy od właściwości dielektryka takich jak koncentracja atomów n i promień atomu R.