Jeżeli zagadnienia podstawy programowej szkoły średniej mamy już za sobą i czujemy się w nich w miarę pewnie, skupmy się na czymś kompletnie nowym - trygonometrii sferycznej (Póki co zajmiemy się geometrią sferyczną, aczkolwiek jest to niezbędne aby zacząć trygonometrię sferyczną). Dlaczego jednak postanowiłem zająć się takimi tematami? Trygonometria sferyczna to gałąź geometrii sferycznej, która zajmuje się relacjami między funkcjami trygonometrycznymi boków i kątami sferycznych wielokątów określonymi przez wiele przecinających się wielkich kręgów na kuli. Trygonometria sferyczna ma ogromne znaczenie dla obliczeń w astronomii, geodezji i nawigacji (ale o tym później). Jak więc można wywnioskować są to rzeczy z którymi mamy styczność bardzo często. Warto jest więc się z tym zaznajomić szczególnie, że są to bardzo interesujące i łatwe w przyswajaniu działy. Co ciekawe, geometria sferyczna powstała znacznie wcześniej niż geometria płaska. Na początku zaprezentuję parę grafik wraz z podstawowymi definicjami. Zacznijmy od okręgów kół na powierzchni kuli. Powiedzmy, że płaszczyzna K przecina kulę. Tworzy przez to pewien okrąg o promienu r. Wygląda to tak: (WST1.1)
Jeżeli poprowadzimy średnicę kuli, która jednocześnie będzie przebijała płaszczyznę K pod kątem prostym, będzie ona przecinała powierzchnię tej kuli w dwóch punktach M i W, które są zwane środkami sferycznymi okręgu koła na kuli: (WST1.2)
Koła których płaszczyzny przechodzą przez środek kuli będziemy zwać kołami wielkimi, a inne kołami małymi.
Teraz skupmy się na trójkątach sferycznych. Jeżeli kąt trójścienny (trójścian) o wierzchołku O i krawędziach Oα, Oβ, Oγ przetniemy powierzchnią kuli również o środku O, to w efekcie otrzymamy trzy łuki kół wielkich a, b i c: (WST2.1)
Trójkąt sferyczny możemy rówież stworzyć inaczej. W geometrii płaskiej jedną z podstawowych definicji był odcinek. W geometrii sferycznej jako odcinki możemy traktować łuki kół wielkich. Poprowadźmy trzy koła wielkie przez punkty A, B i C. Trójkąt sferyczny możemy określić jako część powierzchni kuli, zawartą między trzema łukami kół wielkich przecinających się parami: (WST2.2)
Wierzchołki i kąty trójkąta sferycznego oznacza się wielkimi literami łacińskimi (A, B, C), a leżące naprzeciw nich boki odpowiednimi małymi literami łacińskimi (a, b, c).
Długości boków trójkąta sferycznego określa się w stopniach. W żadnym trójkącie sferycznym nie może być dwóch boków, których długości byłyby większe niż połowa okręgu (większe od 180o). Poprostu oba boki nie napotkałyby trzeciego i przecinałyby się powtórnie tworząc figurę zwaną dwukątem sferycznym. Dwukątem sferycznym możemy więc nazwać figurę utworzoną przez przecinające się półokręgi dwóch kół wielkich (W poniższym przypadku dwukąt składający się z dwóch półokręgów kół wielkich o długości 180o):
Wracając do trójkąta sferycznego - to że dwa spośród boków nie mogą być większe od 180o nie znaczy, że jeden z boków nie może być. Mimo tego będziemy rozważali tzw. trójkąty eulerowskie. Są to trójkąty sferyczne powstające na powierzchni kuli przez połączenie parami trzech punktów najmniejszymi łukami kół wielkich, a więc takie trójkąty, w których wszystkie boki i wszystkie kąty są mniejsze od 180o. W przypadku, w którym długość jednego z boków byłaby większa od połowy łuku koła wielkiego, to zamiast niego będziemy rozważać trójkąt będący dopełnieniem wcześniejszego do połowy powierzchni kuli (Dzięki temu ten drugi będzie trójkątem eulerowskim).
Teraz popatrzmy na tę wizualizację (WST2.4):
Każde dwa okręgi kół wielkich przecinają się w dwóch punktach (A i B). Są one końcami średnicy kuli (AB), więc drugi punkt przecięcia jakichkolwiek dwóch boków trójkąta sferycznego (B) (punkt przecięcia przedłużeń tych boków, a w naszym przypadku boków AC i AD trójkąta sferycznego ACD), będzie leżał na jednej średnicy z pierwszym punktem (A). Przy takiej konstrukcji tworzy się trójkąt sferyczny CDB, który nazywa się trójkątem sprzężonym z trójkątem pierwotnym ACD wzdłuż boku CD. Z racji tego, że mają wspólny bok, to kąt B (∠B) będzie równy kątowi A (∠A). Jak wyliczyć boki i kąty trójkąta sprzężonego, gdy mamy dane trójkąta pierwotnego?
∠BCD = 180o - ∠C, bok BD = 180o - AD
Skoro już skupiliśmy się na kątach, to kontynuujmy. Jak mierzyć kąty i boki trójkąta sferycznego? Kątem dwóch przecinających się krzywych nazywamy kąt zawarty między stycznymi do tych krzywych w ich punkcie przecięcia. Spójrzmy na poniższy obrazek, prezentujący styczne kąta A: (WST2.5)
Jak widać za kąt A trójkąta sferycznego ABC będziemy uważać kąt między stycznymi AT i AD do jego boków AB i AC w wierzchołku A. Styczne leżą w płaszczyznach ATM i ADN dwuścianu MAEN i są prostopadłe do jego krawędzi AE. Tworzą więc kąt liniowy tego dwuścianu. Kąt liniowy dwuścianu MAEN będziemy nazywać miarą kąta sferycznego TAD.
Kąty za nami, teraz skupmy się na bokach. Długość boku trójkąta sferycznego, to długość łuku koła wielkiego przechodzącego przez jego dwa wierzchołki. Jednocześnie długość boku jest najkrótszą odległością na powierzchni kuli między tymi wierzchołkami i nazywa się odległością sferyczną między danymi punktami. Mierzenie odległości sferycznej sprowadza się do mierzenia kątów. Każdej długości sferycznej AB, jako długości łuku koła wielkiego przechodzącego przez punkty A i B, odpowiada kąt środkowy AOB równy α= ∠AMB: (WST2.6)
Z racji tego, że wszystkie koła wielkie kuli mają ten sam promień, odległość sferyczna może być mierzona bezpośrednio przez kąt. Oprócz miary w stopniach, mamy również do dyspozycji miarę łukową (radiany!). Za jednostkę tej miary przyjmuje się promień odpowiedniego okręgu koła. Jeżeli odległość sferyczną między punktami A i B oznaczymy w stopniach ( za pomocą αo), a w mierze łukowej przez l, będziemy mieli związek:
skąd
czyli
jest łukiem 1'', który z dużą dokładnością może być zastąpiony przez sin1'', a wtedy
Źródła wiedzy:
- N. Stiepanow - Trygonometria Sferyczna (1960)
- http://www.zsi.slupsk.pl/files/uczen_zdolny/geometria.pdf
- Wykłady dr hab. Leszka Smolarka dostepne na jego stronie internetowej tutaj
