W tym samym czasie, kiedy Feigenbaum opisywał nową stałą matematyczną, inny amerykański matematyk polskiego pochodzenia, Benoît Mandelbrot, zajmował się badaniem geometrii fraktalnej, a jednym z jego największych odkryć było odkrycie zbioru Mandelbrota. Między innymi dzięki temu odkryciu nazywany jest ojcem geometrii fraktalnej.
Aby zrozumieć zbiór Mandelbrota, należy najpierw zrozumieć koncepcję liczb zespolonych, ich dodawania i mnożenia.
Po pierwsze każdą liczbę zespoloną można zapisać za pomocą postaci kanoniczej, czyli $z=a+bi$, gdzie $i$ to jednostka urojona spełniająca równanie $i^2=-1$, lub za pomocą postaci trygonometrycznej, $z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)$, gdzie $|z|$ to moduł liczby zespolonej, a $\phi$ to jej argument.
Liczbę zespoloną można przedstawić na płaszczyźnie zespolonej, gdzie oś pozioma to oś rzeczywista, a pionowa to oś urojona.
Ważną koncepcją jest koncepcja mnożenia liczb zespolonych.
Wzór na mnożenie liczb zespolonych w postaciach kanonicznych wygląda tak:
$$z_1\times z_2 = (a+bi)\times(c+di) = (ac-bd) + i(ad+bc)$$
Dużo ciekawszy jest jednak wzór na mnożenie liczb w postaciach trygonometrycznych:
$$z_1\times z_2 = |z_1| \times |z_2| \times (\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta))$$
Z tego wzoru wynika to, że moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów mnożników, a argument jest sumą argumentów.
Zbiorem Mandelbrota nazywamy zbiór, który oparty jest o iterację liczb zespolonych według równania:
$$ z_{n+1} = z^2_n + p $$
gdzie $p$ to liczba zespolona ze zbioru, a wartość $z_0 = 0$.
Liczby, dla których tak zdefiniowany ciąg nie dąży do nieskończoności należą do zbioru Mandelbrota
Przykładowo wartość 1 nie należy do zbioru, bo jej iteracja dąży do nieskończoności :
$$ 0^2 + 1 = 1 $$
$$ 1^2 + 1 = 2 $$
$$ 2^2 + 1 = 5 $$
$$ 5^2 + 1 = 26 $$
$$ ... $$
Wartość -1 natomiast do zbioru należy, ponieważ wartości jej iteracji oscylują pomiędzy -1 i 0:
$$ 0^2 - 1 = -1 $$
$$ (-1)^2 - 1 = 0 $$
$$ 0^2 - 1 = -1 $$
$$ (-1)^2 - 1 = 0 $$
$$ ... $$
Po zaznaczeniu wszystkich liczb zbioru Mandelbrota na płaszczyźnie zespolonej otrzymamy taki obraz:
Często natomiast koloruje się wartości spoza zbioru w zależności od tego, jak szybko dążą do nieskończoności. W efekcie można otrzymać np. taki obraz (interaktywny - można przesuwać i przybliżać):
Jeśli przyjrzymy się obydwu zagadnieniom - diagramom bifurkacyjnym i zbiorowi Mandelbrota można zauważyć pewne zależności:
W obydwóch przypadkach mamy do czynienia z podobnymi funkcjami, dla diagramu bifurkacyjnego odwzorowania logistycznego wygląda tak:
$$ f(x) = kx(1-x) = kx - kx^2 $$
a dla zbioru mandelbrota funkcja wygląda tak:
$$ g(x) = x^2 + c $$
Iteracje obu tych funkcji tworzą podobne diagramy bifurkacyjne:
Skoro iteracja tej samej funkcji $g$ może tworzyć diagram bifurkacyjny i zbiór Mandelbrota w zależności od tego, jakie liczby zostaną użyte i jak zostanie zaprezentowany wynik, to można dojść do wniosku, że diagram bifurkacyjny tej funkcji i zbiór Mandelbrota są różnymi przedstawieniami tej samej koncepcji matematycznej.
Rzeczywiście tak jest. Jeśli wrócimy do zbioru Mandelbrota i oprócz tego, czy liczby nie dążą do nieskończoności, zaznaczymy także w jaki sposób pozostają one skończone, to możemy zobaczyć zjawisko bifurkacji odbywające się na osi rzeczywistej.
Tak wygląda zbiór Mandelbrota z zaznaczonymi atraktorami, do jakich dążą dane liczby.
Można zauważyć, że dla głównej kardioidy liczby dążą do pojedynczego punktu.
Dla koła po lewej stronie głównej kardioidy istnieje atraktor dwupunktowy.
Co więcej jeśli narysujemy trójwymiarowy wykres zbioru Mandelbrota, gdzie w trzecim wymiarze zaznaczymy części rzeczywiste atraktorów, to otrzymamy taki obraz:
Przy takiej wizualizacji dokładnie widać, jak diagram bifurkacyjny jest częścią zbioru Mandelbrota.
Oczywiście analiza opisanych bifurkacji także ujawnia stałą Feigenbauma.