Prosta potęgowa

Prosta potęgowa okręgów

Prostą potęgową nazywamy zbiór punktów mających równe potęgi względem danych dwóch okręgów o różnych środkach.

o prostej potęgowej

Prosta potęgowa jest prostopadła do prostej przechodzącej przez środki okręgów.

o prostej potęgowej

Przeprowadzimy dowód analityczny.
Rozpatrzmy dwa niewspółśrodkowe okręgi $o_1(S_1,r_1)$ i $o_2(S_2,r_2)$. Poprowadźmy układ współrzędnych, w taki sposób, aby oś odciętych przechodziła przez środki okręgów.
Umożliwia nam to nam zapisanie współrzędnych środków okręgów jako $S_1(x_1,0)$ i $S_2(x_2,0)$. Weźmy teraz dowolny punkt $P(x,y)$.
Aby należał on do prostej potęgowej z definicji musi spełniać równanie ${\left|{\mathrm{PS}}_1\right|}^2-r_1^2={\left|{\mathrm{PS}}_2\right|}^2-r_2^2$
Obliczając odległości $\left|{\mathrm{PS}}_1\right|$ i $\left|{\mathrm{PS}}_2\right|$ z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
${\left|{\mathrm{PS}}_1\right|}^2={(x-x_1)}^2+y^2$ oraz ${\left|{\mathrm{PS}}_2\right|}^2={(x-x_2)}^2+y^2$
Podstawiając do wcześniejszego równania uzyskujemy równanie
${(x-x_1)}^2+y^2-r_1^2={(x-x_2)}^2+y^2-r_2^2$
Powyższe równanie możemy przekształcić do postaci równania prostej zawierającej punkty $P$
$x=\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{r_1^2-r_2^2}{2(x_1-x_2)}$
W powyższym równaniu widać, że współrzędna $x$ zależy wyłącznie od czterech stałych: $r_1,r_2,x_1,x_2$, czyli jest stała, w związku z czym prosta zawierająca takie punkty jest prostopadła do osi odciętych, czyli również prostopadła do odcinka łączącego środki okręgów.

o prostej potęgowej w okręgach przecinających się w dwóch punktach

Niech dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Prosta, która przechodzi przez te punkty, jest prostą potęgową.

o prostej potęgowej

Punkty przecięcia to punkty, które jednocześnie należą do obu okręgów.
W poprzednim dziale zapisaliśmy własność mówiącą, że dla punktów leżących na okręgu potęga punktu jest równa zeru tzn. $\Pi (A,o)=0$.
W związku z tym wartość ich potęg względem okręgów jest równa, a więc są to punkty należące do prostej potęgowej.
Przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną prostą i w tym przypadku będzie ona prostą potęgową.

o prostej potęgowej w okręgach rozłącznych zewnętrznie

Niech dwa okręgi będą zewnętrznie rozłączne. Dla każdej z stycznych, będących dla nich wspólnymi, rozważmy środek odcinka biegnącego od jednego punktu styczności do drugiego punktu styczności. Przez każdy z takich punktów przechodzi prosta potęgowa, co oznacza również, że są one współliniowe.
Pojęcie jest to przedstawione na poniższym applecie.

o prostej potęgowej w okręgach rozłącznych zewnętrznie

Rozważmy wspólną styczną o punktach styczności i $B$ oraz punkt $C$ leżący na środku odcinka $\left|\mathrm{AB}\right|$.
$\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{BC}\right|\Rightarrow {\left|\mathrm{AC}\right|}^2={\left|\mathrm{BC}\right|}^2$
Z twierdzenia o potędze punktu $A$ na zewnątrz okręgu wiemy, że potęgę puntu możemy zapisać jako kwadrat odległości rozpatrywanego punktu od punktu styczności. Jak widzimy, punkt $C$ ma równą potęgę względem obu okręgów. Rozpatrując w ten sposób każdą z czterech możliwych stycznych otrzymamy cztery punkty o potędze równej względem obu okręgów, a wiedząc że punkty te należą do prostej potęgowej, mamy dowód na współliniowość tych punktów.

o prostej potęgowej trzech okręgów

Jeśli środki okręgów $o_1,o_2,o_3$ są parami różne, to osie potęgowe par okręgów $o_1$ i $o_2$, $o_2$ i $o_3$, $o_1$ i $o_3$ są równoległe (gdy środki tych okręgów są współliniowe) lub przecinają się w jednym punkcie (w przeciwnym przypadku).

o prostej potęgowej trzech okręgów

Jeśli środki okręgów leżą na jednej prostej, to osie potęgowe są prostopadłe do niej. W przeciwnym przypadku żadne dwie osie nie są równoległe; niech $P$ będzie punktem przecięcia osi $o_1$ i $o_2$ z osią $o_2$ i $o_3$.
Wtedy $\Pi (P,o_1)=\Pi (P,o_2)=\Pi (P,o_3)$ więc $P$ leży też na osi potęgowej okręgów $o_1$ i $o_3$.