Ciąg look-and-say, to ciąg liczb całkowitych opierający się na prostej, ale ciekawej koncepcji. Oto 5 pierwszych wyrazów tego ciągu:
Zasada, według której pojawiają się kolejne wyrazy ciągu nie do końca ma związek z właściwościami samych liczb, ale z ich zapisem i sposobem ich odczytywania. Czy uda ci się odgadnąć, jak wygląda następny wyraz ciągu?
Zacznij od lewej strony, sprawdź ile razy dana cyfra pojawia się pod rząd, i zapisz ilość powtórzeń a następnie cyfrę, której ilość powtórzeń właśnie sprawdzałeś. Kontynuując to działanie aż do końca liczby otrzymasz kolejny wyraz ciągu. Oto przykład:
1 jest odczytywane jako "jedna jedynka", czyli 11.
11 jest odczytywane jako "dwie jedynki", czyli 21.
21 jest odczytywane jako "jedna dwójka, jedna jedynka", czyli 1211.
1211 jest odczytywane jako "jedna jedynka jedna dwójka dwie jedynki", czyli 111221.
111221 jest odczytywane jako "trzy jedynki dwie dwójki jedna jedynka", czyli 312211, itd.
1
11
21
1211
111221
\[\lim_{n\to\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} = \lambda\]
gdzie, \(\lambda = 1.303577269034...\)
Oznacza, to że każdy kolejny wyraz ciągu jest około 30% dłuższy od poprzedniego.
Ciąg ten analizowany był przez Johna Conwaya, po tym jak został on pokazana mu przez jednego z jego studentów podczas przyjęcia. Zauważył on pewne interesujące właściwości, jak na przykład to, że rozpoczęcie od liczby 22 daje nieskończoną pętlę samych dwójek. To jedyny wyjątek, ponieważ przy każdej innej liczbie początkowej rośnie w bardzo konkretny sposób.
Wzrost długości wyrazów nie jest ani losowy ani liniowy. Jednak przy wydłużaniu ciągu w nieskończoność, można zaobserwować pewną zależność.
Stosunek liczby cyfr w dwóch kolejnych wyrazach zbliża się do pojedynczej liczby znanej jako Stała Conwaya (oznaczana symbolem \(\lambda\)).
Twierdzenie kosmologiczne Conwaya głosi, że każdy ciąg ostatecznie "rozpada się" na ciąg "elementów atomowych". Są one skończonymi podciągami, które nigdy więcej nie oddziałują ze swoimi sąsiadami. Istnieją 92 elementy zawierające tylko cyfry 1, 2 i 3, które Conway nazwał nazwami 92 naturalnie występujących pierwiastków chemicznych aż do uranu. Oto kilka takich przykładowych elementów:
| Liczba atomowa | Pierwiastek | Sekwencja | Rozpada się na |
|---|---|---|---|
| 1 | H | 22 | H |
| 26 | Fe | 13122112 | Mn |
| 27 | Co | 32112 | Fe |
| 28 | Ni | 11133112 | Zn, Co |
| 29 | Cu | 131112 | Ni |
| 30 | Zn | 312 | Cu |
Poza byciem swoistą ciekawostką i łamigłówką, ciąg look-and-say ma również swoje zastosowanie. Z podobnego mechanizmu korzysta RLE, czyli kodowanie długości serii wykorzystywane do kompresji danych w sygnałach telewizyjnych i grafice cyfrowej. Liczba powtórzeń wartości danej w kodzie jest zapisywana jako sama liczba.
Ciąg look and say jest dobrym przykładem tego, jak liczby i inne symbole mogą przekazywać znaczenie na wielu poziomach.