Fala sinus

Wstępne informacje

Fala sinusoidalna (sinusoida) - funkcja często pojawiająca się w matematyce, muzyce, fizyce, elektrtechnice i wielu innych dziedzinach. Jest jedyną funkcją okresową posiadającą własność zachowania kształtu po dodaniu do niej innej sinusoidy o tej samej częstotliwości i dowolnej fazie. Fala sinusoidalna jest ponadto uważana za najczystszy dźwięk o danej częstotliwości pod względem akustycznym. W muzyce odgrywa bardzo ważną rolę chociażby przez to, że jest punktem wyjścia dla analizy fourierowskiej (polega na przedstawieniu funkcji okresowych/harmonicznych jako sumy fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach i fazach).

Wzór & wykresy

Poniżej przedstawiony jest wykres, wzór (interpretacja syntezatora) oraz odsłuch:

Fala sinus w zapisie muzycznym określana jest wzorem:

sin(x*pi)

x - bieżąca wartość czasu na wykresie, od -1,0 do 1,0
pi - stała Archimedesa, wynosząca w przybliżeniu 3,14.

Zastosowanie w muzyce

Tak jak już wcześniej udowodniliśmy gdyby nie sinus na świecie prawopodonie nie istniałby dźwięk, ponieważ wchodzi w skład każdej fali prostej i złożonej. Swoje zastosowanie znalazł również w muzyce. Jest wykorzystywany przede wszystkim do tworzenia subbasu. Czyli najniższego i najczystszego basu w utworze muzycznym. Subbas wykrzystywany jest m. in. w muzyce pop, progressive house czy dubstep. Poniżej można odsłuchać przykładowej lini basu stworzonej z fali sinusoidalnej z efektami na mikserze
w postaci kompresora sidechain, dzięki któremu dźwięk jej "pompowany":

Spektrum dźwięku

Sinus jest falą harmoniczną, dlatego też nie posiada on żadnych harmonicznych, ponieważ to on wchodzi w ich skład. Dlatego w tym przypadku nie będziemy stosować analizy harmonicznej, bo sinus ich nie posiada. Fala sinus zbudowana jest bowiem, tylko z jednej sinusoidalnej składowej, co wyraźnie widać na poniższym widmie dźwiękowym:

Fala triangle (in phase)

Wstępne informacje

Fala triangle (in phase), zwana też w muzyce ostrym sinusem (zaostrzony przebieg sinusoidalny) to
w rzeczywistości fala trójkątna. Od sinusa wyróżnia ją bardziej "agresywna" barwa dźwięku.

Wzór & wykresy

Poniżej przedstawiony jest wykres, wzór (interpretacja syntezatora) oraz odsłuch:

Fala triangle (in phase) w zapisie muzycznym określana jest wzorem:

min(2+2*x, abs((x-0.5)*2)-1)

x - bieżąca wartość czasu na wykresie, od -1,0 do 1,0,
min - minimum wszystkich argumentów,
abs - całkowita wartość.

Zastosowanie w muzyce

Fala triangle wykorzystywana jest m. in. w muzyce future bass, big room czy trapie. Również dzięki niej możemy uzyskać bardzo agresywny subbas. Poniżej można odsłuchać przykładową linię basu stworzoną z fali triangle (in phase)

Spektrum dźwięku

Wykres fali trójkątniej jest dość niezwykły, ponieważ każda kolejna harmoniczna sinusoidalna ma mniejszą wartość natężenia dźwięku od poprzedniej. Aby graficznie przedstawić widmo fali triangle (in phase), posłużę się wtyczką vst, którą poznaliśmy już wcześniej:

Próba analizy harmonicznej

Fala triangle (in phase) jest wręcz idealnym przykładem, w którym bardzo łatwo pokazać składową sinusoidalną oraz harmoniczne. Idąc chronologicznie zaczynamy od wyodrębnienia głównej składowej sinusoidalnej za pomocą equalizatora, poniżej pokazana jest główna składowa sinusoidalna, oraz jej odsłuch:

Aby nie zagłębiać się za bardzo we wzory dokonamy następnie analizy wszystkich harmonicznych fali triangle (in phase). W tym celu musimy wyciąść główną składową harmoniczną czyli otrzymaną
z pierwszej equalizacji falę sinus. Poniżej przedstawione jest spektrum widma harmonicznych oraz ich odsłuch:

Ten jakże prosty w zrozumieniu, a w rzeczywistości skomplikowany przykład jednoznacznie utwierdza nas w przeświadczeniu, że sinus jest falą wyjątkową. Analiza przeprowadzona powyżej była bardzo prosta do wykonania, ponieważ podzieliliśmy falę na jej składową i powstałe harmoniczne. Analiza harmoniczna jest zatem niezbędna w zrozumieniu jakiejkolwiek syntezy dźwięku.

Fala square

Wstępne informacje

Funkcję signum trochę już omówliśmy apropo udowadniania teorii fourierowskiej. W matematyce jest to nic innego jak fala prostokątna.

Wzór & wykresy

Poniżej przedstawiony jest wykres, wzór (interpretacja syntezatora) oraz odsłuch:

Fala square w zapisie muzycznym określana jest wzorem:

sign(x)

x - bieżąca wartość czasu na wykresie, od -1,0 do 1,0,
sign - funkcja signum -1 jeśli x<0; 1 jeśli x>0.

Zastosowanie w muzyce

Fali możemy użyć zarówno do zrobienia leadu (dźwięk, który gra melodię w utworze), chordsów (akordy) oraz już bardzo agresywnego basu ponieważ różnica w amplitudzie fali sign(x) wynosi 2, zatem jest bardzo agresywna. Falę square możemy spotkać często w future housie czy dubstepie. Poniżej można odsłuchać przykładową linię leadu stworzoną poprzez generowanie fali square wraz z efektami na mikserze (przester, pogłos i kompresor sidechain):

Spektrum dźwięku

Poznaliśmy już wykres widmowy funkcji sign(x). Warto jeszcze dodać, że podczas analizy harmonicznej bardzo ważne są różnice między natężeniami harmonicznych, ponieważ to one świadczą o aktywności danego obszaru. Poniżej na sliderze ponownie przedstawione jest spectrum fali square w dwóch ujęciach:

Próba analizy harmonicznej

Postępujemy jak w przykładzie wyżej. Zatem za pomocą equalizatora wyodrębniamy składową sinusoidalną oraz jego harmoniczne, poniżej pokazana jest główna składowa sinusoidalna, oraz jej odsłuch:

Następnie wycinamy z dźwięku, powstałą powyżej składową sinusoidalną. Poniżej przedstawione jest spektrum widma harmonicznych oraz ich odsłuch:

Po przeprowadzeniu kolejnej analizy harmonicznych nie powinno nas już dziwić jak powstaje dźwięk.

Fala sqrtri

Wstępne informacje

Fala sqrtri to połączenie dwóch poznanych już fal. Fali square (prostokątnej) z falą triangle (trójkątnej). Nawiązując do strony głównej, fal prostych i zaawansowanych możemy używać wszędzie. Jedynym ograniczeniem jest nasza kreatywność.

Wzór & wykresy

Poniżej przedstawiony jest wykres, wzór (interpretacja syntezatora) oraz odsłuch:

Fala sqrtri w zapisie muzycznym określana jest wzorem:

-1*(sign(x)*0.5)+(abs(x)-0.5)

x - bieżąca wartość czasu na wykresie, od -1,0 do 1,0,
sign - funkcja signum -1 jeśli x<0; 1 jeśli x>0,
abs - całkowita wartość.

Zastosowanie w muzyce

Poznaliśmy już 3 postawowe fale, przy pomocy których możemy zbudować inne, bardziej złożone przebiegi. Poniżej można odsłuchać przykładowej lini chordsów wraz z kompresorem sidechain:

Spektrum dźwięku

Znamy już wykres widmowy funkcji square i triangle (in phase). Wykresy spektrum fal na pierwszy rzut oka mogą być do siebie podobne. Jednak bazujemy na funkcji logarytmicznej gdzie różnice
w przesunięciu czasami o 1 Hz są dla nas niezauważalne, a w rzeczywistości to właśnie takie niuanse kształtują nowe brzmienia. Poniżej na sliderze przedstawione jest widmo harmonicznych fali sqrtri.

Equalizacja harmonicznych

Rozkład harmonicznych jest nam już dobrze znany. Zatem możemy pójść o krok dalej. W tym przykładzie skupimy się na ucinaniu i podbijaniu harmonicznych fali sqrtri. W tym celu generuję falę syntezatorem wavetable. Na początku wytniemy trochę częstotliwości w okolicach 2k Hz. Poniżej znajduję się screen z equalizatora i odsłuch:

Następnie podbijemy niektóre częstotliwości. Ciekawostką jest fakt, że im więcej wyższych częstotliwości tym dźwięk jest głośniejszy. Poniżej znajduje się screen z equalizatora, którym podbiliśmy niektóre częstotliwości i odsłuch:

Equalizacja harmonicznych

Omówienie

Equalizacja odgrywa ogromną rolę w miksie i masteringu. Teraz w prosty sposób możemy wyjaśnić dlaczego z leadu i chordsów wycinane są niskie częstotliwości. Jest to robione po to aby niskie fale sinusoidalne basu i chordsów nie nachodziły na siebie. Jeżeli je wytniemy uzyskamy wtedy ładny
i klarowny bas. Umiejętność stosowanina tej teorii w praktyce czyni kolosalne różnice w wykonaniu miksu przez profesjonalistę, a osobę początkującą.

Poniżej przedstawiony jest remake utworu Martina Garrix'a - Pizza. Do jego wykonania zostały użyte tylko dwie fale. Fala sin, która gra subbas oraz fala sqrtri, która wybrzmiewa ze znanymi nam już chordsami. Poniżej możliwość odsłuchania utworu bez miksu (equalizaji):

Nie ma co ukrywać, że brzmi to bardzo źle. Zatem dokonajmy miksu tego utworu w postaci equalizaji.
Z fali sqrtri wytniemy główną składową sinusoidalną, aby nie wchodziła w kolizję dźwiękową z subbasem, który wygrywa inną melodię. Poniżej trzy screeny: na pierwszym przedstawione jest spectrum czystej fali sqrtri:

Na drugim przedstawiony jest equalizator, którym wycieliśmy częstotliwości poniżej 200 Hz:

Trzeci przedstawia wykres widma fali po korekcji graficznej:

Po wykonaniu tego zabiegu nasz utwór brzmi o wiele lepiej. Dokonaliśmy usunuęcia tylko składowej sinusoidalenj, aby zrobić miejsce dla basu. W muzyce tak jak w matematyce, ważne są proprcje. Czasami 10 Hz w tą czy tamtą potrafi zespuć cały miks. Poniżej można odsłuchać utworu po miksie:

Mogłoby się wydawać, że podmieniliśmy falę. Nic bardziej mylnego. Dokonaliśmy trafnej analizy harmonicznej, podczas której stwierdziliśmy, że w chordsach nie potrzebujemy dźwięków basowych, jeżeli bas występuje w utworze.

Podsumowanie

Wnioski jakie można wyciągnać z zastosowaniu analizy harmonicznej w muzyce są bardzo prostę. Otóż jest ona tam wszechobecna. Być może nie używa się tam stricte wzorów do rozkładów fal, ale znając definicję analizujemy dźwięk za pomocą widma, które potrafi zamienić dźwięk w graficzny szereg fal sinusoidalnych. Jest to niezwykłe zastosowanie matematyki w muzyce, o którym powinno wiedzieć więcej ludzi na świece. Warto szukać i pokazywać innym jakie to wszystko jest piękne i jak to ze sobą współgra.