Równania Eulera-Lagrange'a:

Przy odpowiednich zależnościach otrzymujemy końcowy wzór na funkcję Eulera-Lagrange’a wyrażającą się następująco:

                   

Przy czym drugi człon równy jest zeru, gdyż energia potencjalna nie jest funkcją . Dodając do powyższego równania z lewej strony siły zasilania zewnętrznego i siły dyssypacji m-tego elementu otrzymamy rozszerzone równaniu dla układów niezachowawczych i dyssypatywnych.

                                

gdzie jest siłą, mementem bądź napięciem zasilania, zaś siłą dyssypacji wyrażającą się spadkiem napięcia na rezystancjach w obwodzie elektrycznych, i oporami tarcia w ruchu mechanicznym.