To, w jaki sposób działają transformacje Fouriera, niesie za sobą pewne konsekwencje. Konsekwencje te objawiają się w wielu problemach matematycznych i fizycznych, głównie tam, gdzie mamy do czynienia z falami i zależnościami pomiędzy przedstawieniem fali w dziedzinie czasu i dziedzinie częstotliwości.
Przyjrzyjmy się transformacji Fouriera pewnej funkcji:
Zobaczmy także inną funkcję:
Oraz taką funkcję:
Jak widać, wszystkie te funkcje są do siebie podobne. Wszystkie składają się z cosinusoid o częstotliwościach 2 i 3.
Jednak ich transformacje wyglądają zupełnie inaczej.
Z transformacji pierwszej funkcji można łatwo określić, jakie częstotliwości składowe występują w funkcji.
Z drugiej transformacji można mieć niemalże pewność, jakie częstotliwości się na nią składają.
Z ostatniej transformacji jednak niewiele można odczytać.
To wszystko wynika z tego, że cosinusoidy w tych funkcjach zanikają z różną szybkością.
Przykładowo w drugiej funkcji cosinusoidy rozciągają się na kilkanaście jednostek, natomiast w trzeciej funkcji skupione są tylko wokół $x=0$, tak, że nawet trudno zobaczyć tu jakąkolwiek okresowość.
Efekt ten jest zwany ogólną zasadą nieoznaczoności.
Załóżmy, że mamy jakieś dwie skorelowane informacje na temat danego przedmiotu lub zjawiska oraz że jedną z tych informacji określa jakaś funkcja okresowa, a drugą częstotliwość tej funkcji.
Ogólna zasada nieoznaczoności mówi o tym, że im bardziej jesteśmy pewni jednej informacji, to, tym mniej możemy być pewni drugiej informacji.
Przykładem gdzie ogólna zasada nieoznaczoności jest dobrze widoczna i łatwa do zrozumienia jest sposób działania radaru dopplerowskiego.
Działa on na zasadzie wysyłania, odbierania i analizowania wiązek promieniowania:
Jak widać położenie obiektu może być ustalone poprzez zmierzenie opóźnienia między wysłaniem a odebraniem sygnału.
Prędkość obiektu może być natomiast ustalona przez zmierzenie zmiany częstotliwości wysłanej wiązki. W wyniku tzw. efektu Dopplera obiekty, które poruszają się z większą prędkością, w większym stopniu zmieniają częstotliwość.
Jednak ogólna zasada nieoznaczoności mówi nam, że nie możemy dokładnie znać jednocześnie sygnału i jego częstotliwości, więc nie możemy jednocześnie dokładnie ustalić położenia i prędkości obiektu przy pomocy radaru dopplerowskiego.
Rozważmy transformację Fouriera krótkiego sygnału wysłanego przez radar dopplerowski:
Rozważmy także transformację Fouriera sygnału odebranego:
Jak widać zarówno sygnał, jak i jego transformacja są przesunięte.
Oznacza to, że pozycja i prędkość obiektu względem radaru są niezerowe.
Widać jednak, że mając tak krótki sygnał, nie jesteśmy w stanie dokładnie określić jego częstotliwości, czyli prędkości obiektu.
Jesteśmy w stanie za to dosyć dokładnie określić położenie obiektu.
Załóżmy teraz, że sygnał, który wysyłamy, jest dłuższy.
Tak wygląda transformacja Fouriera takiego sygnału:
Tak natomiast wygląda transformacja sygnału odebranego:
Na tym przykładzie, tak samo, jak wcześniej położenie i prędkość obiektu względem radaru są niezerowe.
Jednak widać tutaj, że częstotliwość, czyli prędkość obiektu jest lepiej określona.
Trudniej jest natomiast określić położenie, gdyż sygnał jest dłuższy.
Tak właśnie działa ogólna zasada nieoznaczoności.
Niezależnie od tego, jak długi sygnał mamy, to nie jesteśmy w stanie ze stuprocentową dokładnością określić jego położenia i częstotliwości.
Szczególnym przypadkiem zasady nieoznaczoności jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
Dotyczy ona mechaniki kwantowej i mówi, że, dla danej cząstki, niemożliwe jest dokonanie nieskończenie dokładnego pomiaru położenia i pędu tej cząstki jednocześnie.
Zasadę tą można określić wzorem:
$$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$$
gdzie:
$\sigma_x$ - odchylenie standardowe położenia
$\sigma_p$ - odchylenie standardowe pędu
$\hbar$ - zredukowana stała Plancka ($h/2\pi$)
Próba otrzymania nieskończenie dokładnego pomiaru wymagałaby, aby oba odchylenia standardowe były równe 0, lecz wtedy ich iloczyn byłby równy 0, a nie spełnia to tej nierówności.
Zasada nieoznaczoności związana z cząstkami kwantowymi występuje dlatego, że cząstki takie zgodnie z hipotezą de Broglie'a można opisać za pomocą fal.
Z kolei z tego faktu, jak i z ogólnej zasady nieoznaczoności (związanej z transformacją Fouriera) wynika, że nie można w sposób jednoznaczny określić wszystkich właściwości takiej fali jednocześnie.
Wartym podkreślenia faktem jest to, że właściwość ta nie wynika ze sposobu pomiaru, ale z samej natury cząstek i mechaniki kwantowej.
Cząstki nie są mierzone za pomocą fal, one tymi falami są.
Niemożliwe jest więc w fizyce całkowite określenie stanu danego obiektu, a jedynie określenie prawdopodobieństwa każdego stanu.