Historia
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) był francuskim matematykiem i fizykiem. W swoich badaniach zajmował się wieloma problemami matematycznymi i fizycznymi (np. badanie pierwiastków wielomianów, czy pierwsze obserwacje efektu cieplarnianego), aczkolwiek to właśnie odkrycie szeregów Fouriera, których użył w swojej pracy na temat przepływu ciepła, zapewniło mu sławę.
Powstanie szeregów Fouriera (a następnie transformacji Fouriera i całej analizy Fouriera) związane jest z próbami rozwiązania równania przewodnictwa cieplnego. Choć wielu uczonych, w tym Carl Friedrich Gauss, czy Jean le Rond d'Alembert, studiowało to równianie, wykorzystując szeregi trygonometryczne, to właśnie Fourier poczynił istotne postępy w tej dziedzinie, twierdząc w swojej pracy z 1807 r.
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Traktat o propagacji ciepła w ciałach stałych), iż każdą funkcję rzeczywistą można przedstawić w postaci szeregu trygonometrycznego oraz podał wzory na obliczanie współczynników takiego szeregu.
Pomimo tego, że szeregi Fouriera były początkowo tylko narzędzie do rozwiązania problemu przepływu ciepła, to w późniejszej historii stało się jasne, że mogą być one wykorzystywane do rozwiązywania problemów matematycznych i fizycznych. Mają one zastosowanie w wielu dziedzinach, od przetwarzania sygnałów po mechanikę kwantową.
Równanie przewodnictwa cieplnego
Problem rozwiązania równania przewodnictwa cieplnego jest problemem trudnym, gdyż równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu. Równanie to dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje postać:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \left(
\frac{\partial^2u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2u}{\partial z^2} \right)$$
gdzie $u(x,y,z,t)$ to funkcja zależności rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu
a $\alpha$ to współczynnik wyrównania temperatur danego ciała.
Na potrzeby zrozumienia problemu warto jednak analizować równanie dla jednego wymiaru, które ma postać:
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$
gdzie $u(x, t)$ to funkcja zależności rozkładu temperatury w jednowymiarowej przestrzeni w chwili czasu $t$,
a $\alpha$ to współczynnik wyrównania temperatur danego ciała.
Jednak dla funkcji $f(x)=\cos(nx)$ równanie to jest proste, a rozwiązanie przyjmuje postać
$$\cos(n(\pi/L)x) e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$$
gdzie $n$ - częstotliwość,
$L$ - koniec dziedziny funkcji $D=\langle 0,L \rangle$,
$\alpha$ - współczynnik wyrównania temperatur.
Oznacza to, że rozkład temperatur wyrównuje się w tempie wykładniczym, co można zobaczyć na wykresie:
Warto także zauważyć, że im większa jest częstotliwość funkcji początkowej, tym tempo wyrównywania jest większe:
Ważną własnością równania przewodnictwa cieplnego jest to, że jego rozwiązanie może być przedstawione w postaci kombinacji liniowej rozwiązań innych równań, czyli suma poprawnych rozwiązań prostszych równań jest także poprawnym rozwiązaniem równania.
Wynika z tego, iż wiedząc jak daną funkcję rozłożyć na sumę funkcji, dla których rozwiązania równania są znane, możemy w prosty sposób znaleźć rozwiązanie równania dla początkowej funkcji.
Przykładowo możemy znaleźć rozwiązanie równania dla funkcji, która jest sumą innych funkcji postaci $f(x)=\cos(nx)$ :
Wiedząc o tej własności, Joseph Fourier szukał sposobu na rozpisanie dowolnej funkcji na sumę funkcji trygonometrycznych, co umożliwiałoby rozwiązanie każdego równania przewodnictwa cieplnego. Rozwiązanie to udało mu się znaleźć, a zaproponowany przez niego sposób rozpisania funkcji na sumę funkcji trygonometrycznych nazwano szeregiem Fouriera.
W późniejszych czasach na podstawie szeregów Fouriera odkryto wiele transformacji, które na jego cześć także były nazywane jego nazwiskiem np. transformacja Fouriera, dyskretna transformata Fouriera, szybka transformata Fouriera.
Podstawowe informacje
Choć można się pogubić, czytając o wszystkich zagadnieniach związanych z analizą Fouriera, to tak naprawdę wszystko sprowadza się do problemu przedstawienia danej funkcji jako sumy funkcji trygonometrycznych, lub mówiąc inaczej transformacji funkcji z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości.
Różnice między szeregami Fouriera, transformacją Fouriera, dyskretną transformacją Fouriera itd. sprowadzają się do tego, jaką funkcję rozpatrujemy, oraz w jaki sposób obliczamy rozwiązanie:
Szereg Fouriera na przykład służy do przedstawienia funkcji okresowej za pomocą sumy funkcji trygonometrycznych.
Transformacja Fouriera służy do przedstawienia funkcji nieokresowej, o dowolnej dziedzinie jako ciągłą superpozycję funkcji trygonometrycznych.
Dyskretna transformacja Fouriera to transformacja Fouriera, tyle że wyznaczona dla sygnału próbkowanego, czyli dyskretnego.