Szereg Fouriera to szereg pozwalający opisać dowolną funkcję okresową jako kombinację liniową funkcji trygonometrycznych o różnych częstotliwościach będących wielokrotnością danej bazowej częstotliwości.
Funkcję nazywamy funkcją okresową o okresie $p$ jeśli $$f(x+p)=f(x),\,x\in \mathbb{R},\,p>0$$ Szeregiem Fouriera funkcji $f(x)$ o okresie $T$ nazywamy szereg trygonometryczny postaci: $$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n}{T}x\right)+b_n\cos\left(\frac{2 \pi n}{T}x\right)\right)$$ o współczynnikach: $$a_n=\frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos\left(\frac{2n\pi}{T}x\right)dx,\, n \in \mathbb{N}_0$$ $$b_n=\frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin\left(\frac{2n\pi}{T}x\right)dx,\, n \in \mathbb{N}_1$$ Definicję tą można rozszerzyć na funkcje o wartościach zespolonych ($\mathbb{R} \to \mathbb{C}$). Przyjmuje ona postać szeregu: $$S(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}}$$ o współczynnikach zespolonych: $$c_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx$$ Choć ta druga definicja może się wydawać bardziej skomplikowana, to zrozumienie szeregów Fouriera na jej podstawie i funkcjach o wartościach zespolonych jest łatwiejsze. Szereg Fouriera na funkcjach rzeczywistych tak naprawdę jest tylko szczególnym przypadkiem.
Na początku należy jednak zrozumieć, czym są funkcje o wartościach zespolonych i jak je można zwizualizować.
Funkcje o wartościach zespolonych to takie funkcje, które dla każdej liczby rzeczywistej przyporządkowują liczbę zespoloną. Można je łatwo zwizualizować na wykresie trójwymiarowym, gdzie jedna oś reprezentuje dziedzinę liczb rzeczywistych, a dwie pozostałe zbiór wartości liczb zespolonych (jedna część rzeczywistą, a druga część urojoną).
Wykres po prawej stronie przedstawia funkcję $f(x)=e^{i2\pi x}$
Jak widać wykres tej funkcji ma postać spirali, co wynika ze wzoru Eulera:
$$e^{ix}=\cos x + i\sin x$$
Dzięki szeregom Fouriera jesteśmy w stanie przedstawić dowolną funkcję o wartościach zespolonych za pomocą sumy takich spiral o różnej częstotliwości, określając tylko amplitudę i fazę (obrót wokół osi rzeczywistej) takiej spirali. Do określenia amplitudy i fazy wystarczy użycie jednej liczby zespolonej:
$$f(x)=c \cdot e^{i2n\pi x}, \, c \in \mathbb{C}$$
Kolejnym sposobem wizualizacji funkcji o wartościach zespolonych jest przedstawienie jej jako zbioru punktów na płaszczyźnie zespolonej.
Jeżeli funkcja jest okresowa, to punkty te formują na płaszczyźnie krzywą zamkniętą.
Taki wykres można też sobie wyobrazić jako "rysowanie" krzywej przez pewien wektor poruszający się w dany sposób.
Wykres po prawej stronie przedstawia funkcję $f(x)=e^{i2\pi x} + e^{2i2\pi x}$
Kluczową obserwacją jest to, że jeśli opiszemy dowolną krzywą zamkniętą jako funkcję o wartościach zespolonych, to będziemy mogli ją przedstawić za pomocą szeregu Fouriera, czyli niejako sumy wektorów obracających się z różną częstotliwością, o różnych amplitudach i fazach.
To zagadnienie przedstawienia krzywej zamkniętej (funkcji o wartościach zespolonych) za pomocą kombinacji liniowej obracających się wektorów (funkcji postaci $c_n e^{i2n\pi x}, \, n\in\mathbb{Z}$ )leży u podstaw zrozumienia zasady działania szeregów Fouriera.
O ile łatwo jest zrozumieć jak dodawanie funkcji postaci $c_n e^{i2n\pi x}$ o różnych współczynnikach zespolonych $c_n$ może stworzyć inną funkcję, to trudniejszym zagadnieniem, wydaje się to, jak te współczynniki obliczyć.
Warto jest zacząć od przyjrzenia się wektorowi, która obraca się z częstotliwością 0 (czyli się nie obraca). Opisuje go wzór:
$$c_0\cdot e^{i2\cdot 0\pi x}$$
Ten wzór jest oczywiście równoznaczny $c_n$, gdyż wykładnik eksponenty wynosi 0, czyli $e^{i2\cdot 0\pi x} = 0$. Oznacza to, że ten nieobracający się wektor jest w pełni opisany przez współczynnik $c_0$, czyli jego pozycja w każdej chwili czasu jest taka sama, jak pozycja startowa (którą właśnie określają współczynniki $c_n$).
Jeżeli bierzemy przedstawienie funkcji o wartościach zespolonych jako krzywą zamkniętą, to wektor $c_0\cdot e^{i2\cdot 0\pi x}$ (czyli właściwie samo $c_0$) opisuje środek masy tej krzywej.
Zatem problem obliczenia współczynnika $c_0$ sprowadza się do problemu obliczenie środka krzywej zamkniętej, lub inaczej mówiąc średniej całkowej funkcji.
Wzór na obliczenie średniej całkowej funkcji okresowej o wartościach zespolonych o okresie $T$ ma postać:
$$\mu = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} f(x) dx$$
Dla ułatwienia obliczeń możemy na razie rozpatrywać wyłącznie funkcje o okresie $T=1$. Wówczas powyższy wzór przyjmuje postać:
$$\mu = \int\limits_{0}^{1} f(x) dx$$
Warto się zastanowić, dlaczego ten wzór określa także współczynnik $c_0$, czyli w jaki sposób całkowanie pozwala wydobyć tylko ten jeden współczynnik z nieskończonej liczby współczynników składających się na całą funkcję.
Rozważmy taką krzywą:
Krzywa ta jest sumą pięciu obracających się wektorów o częstotliwościach $-2, -1, 0, 1, 2$, o różnych położeniach startowych określanych przez współczynniki $c_{-2}, c_{-1}, c_0, c_1, c_2$.
Wiemy już jak obliczyć współczynnik $c_0$. Z powyższych wniosków wynika, że jest on środkiem tej krzywej i można go obliczyć za pomocą wzoru:
$$c_0 = \int\limits_{0}^{1} f(x) dx$$
Na wykresie po prawej można zobaczyć, jak zmienia się położenie krzywej w zależności od części rzeczywistej i części urojonej współczynnika $c_0$.
Obserwując powstawanie krzywej, można zauważyć, że w ciągu jednego okresu wszystkie wektory oprócz jednego (dla $n=0$) wykonują pełną liczbę obrotów (z różną częstotliwością). Wynika to z faktu, że częstotliwość każdego wektora jest liczbą całkowitą, tzn. wektor w ciągu jednego okresu dokonuje całkowitą ilość obrotów (zgodnie lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).
Oczywiście jedynym wektorem, który się nie obraca jest wektor $n=0$, gdyż ma on częstotliwość zerową.
Zagadką pozostaje jednak, jak całkowanie całej krzywej (funkcji o wartościach zespolonych) zeruje pozostałe wektory, pozostawiając tylko jeden.
Ważnym twierdzeniem tutaj jest to, że średnią całkową sumy tych funkcji składowych (wektorów) możemy przedstawić jako sumę średnich poszczególnych funkcji:
$$\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \int\limits_{0}^{1} c_{-2}\cdot e^{-i2\cdot 2\pi x} dx + \int\limits_{0}^{1} c_{-1}\cdot e^{-i1\cdot 2\pi x} dx + \int\limits_{0}^{1} c_{0}\cdot e^{i0\cdot 2\pi x} dx + \int\limits_{0}^{1} c_{1}\cdot e^{i1\cdot 2\pi x} dx + \int\limits_{0}^{1} c_{2}\cdot e^{i2\cdot 2\pi x} dx $$
Wzór ten można oczywiście uogólnić na sumę nieskończoną:
$$\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \sum_{n=\infty}^{\infty} \int\limits_{0}^{1} c_{n}\cdot e^{in\cdot 2\pi x} dx$$
Przyjrzyjmy się zatem poszczególnym wektorom:
Jeszcze lepiej widać tu to, że wszystkie wektory poza zerowym wykonują pełną liczbę obrotów w ciągu jednego okresu.
Wynika z tego to, że całka dla każdej funkcji z wyjątkiem tej $n=0$ będzie wynosiła 0, gdyż wszystkie punkty na wykresie każdej takiej funkcji są równo oddalone od środka wykresu ($0+0i$) z wyjątkiem tego, który się nie obraca, gdyż jego wykres ma postać jednego punktu, czyli właśnie $c_0$.
W taki właśnie sposób całkowanie funkcji pozwala wyzerować wszystkie współczynniki z wyjątkiem $c_0$.
Na tej podstawie możemy się zastanowić, w jaki sposób obliczyć pozostałe współczynniki, jakie działanie należy zastosować, aby wyzerować wszystkie współczynniki z wyjątkiem wybranego.
Aby to osiągnąć, możemy spróbować zrobić coś, co "zatrzyma" docelowy wektor, a pozostałe (łącznie z $c_0$) pozostawi w ruchu. Możemy spróbować zacząć obracać cały wykres funkcji z częstotliwością przeciwną do częstotliwości szukanego wektora.
Musimy znaleźć wyrażenie, które po przemnożeniu przez funkcję spowoduje, że ta funkcja zacznie się obracać z częstotliwością $-n$. Takim wyrażeniem jest oczywiście: $e^{-in2\pi x}$
Funkcja przemnożona przez to wyrażenie będzie składać się z wektorów, z których nie obraca się tylko wektor o częstotliwości docelowej.
Dzięki temu całkując taką funkcję możemy otrzymać wartość $c_n$ dla dowolnego $n$. Działa to na takiej samej zasadzie jak szukanie współczynnika $c_0$, tyle że w tym przypadku inny wektor pozostaje w spoczynku.
Otrzymujemy zatem wzór na dowolny współczynnik $c_n$:
$$c_n = \int\limits_{0}^{1} f(x) e^{-in2\pi x} dx$$
Oczywiście dla $c_0$ wzór ten nadal pozostaje poprawny i skraca się do poprzedniego wzoru, ponieważ $e^{-i \cdot 0 \cdot 2\pi x } = e^0 = 1$.
Warto także zauważyć jak wygląda działanie tego wzoru od strony algebraicznej.
Aby zatrzymać dany wektor, musimy sprawić, że z jego równania zniknie $e^{in2\pi x}$, przez co pozostanie samo $c_n$. Mnożenie potęg o tej samej podstawie możemy przedstawić jako jedną potęgę z wykładnikiem będącym sumą wykładników. Aby potęga była równa 1, jej wykładnik musi wynosić 0. Musimy więc znaleźć takie wyrażenie, które dodając do $in2\pi x$ otrzymamy 0, a takim wyrażeniem jest właśnie $-in2\pi x$.
Końcowy wzór na $c_n$ wygląda zatem tak:
$$c_n = \int\limits_{0}^{1} f(x) e^{-in2\pi x} dx$$
Jest to oczywiście tylko dla funkcji o okresie 1.
Wzór dla funkcji o okresie T wygląda tak:
$$c_n = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} f(x) \cdot e^{-in2\pi x \frac{1}{T}} dx$$
Co może być również zapisane jako:
$$c_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx$$
Jest to właśnie wzór na współczynniki zespolonego szeregu Fouriera.
Poniżej można przetestować, jak zespolony szereg Fouriera wygląda dla dowolnej krzywej zamkniętej:
Jak widać, nawet najbardziej skomplikowaną krzywą zamkniętą można rozłożyć na pojedyncze, proste obracające się wektory
Pozostaje jednak zrozumienie szeregów Fouriera dla funkcji rzeczywistych.
W przypadku gdy funkcja jest rzeczywista, to wektory o przeciwnych częstotliwościach (obracających się w różnym kierunku z taką samą prędkością) mają współczynniki, które są liczbami sprzężonymi: $$c_n = a + bi, \, c_{-n} = \overline{c_n} = a - bi$$
Liczby takie mają takie same moduły i przeciwne argumenty.
Powoduje to, że suma takich wektorów będzie zawsze liczbą rzeczywistą.
Tak naprawdę, gdyby chcieć przedstawić funkcję rzeczywistą na płaszczyźnie tak samo, jak to robiliśmy wcześniej, to miałaby ona postać prostej linii. Wykres funkcji rzeczywistej tak naprawdę określa, w jaki sposób jest rysowana taka linia.
Wiedząc o tym, jakie właściwości mają współczynniki szeregu Fouriera dla funkcji rzeczywistych, możemy przekształcić wzór zespolonych szeregów Fouriera na rzeczywiste, czyli takie, które operują tylko na liczbach rzeczywistych.
Zacznijmy od zapisania wzoru zespolonego szeregu Fouriera:
$$S(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}}$$
Rozpiszmy go tak, aby pogrupować współczynniki przeciwnych częstotliwości:
$$S(x)= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}} + c_{-n} \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} \right)$$
Korzystając ze wzoru Eulera, rozłóżmy funkcje eksponencjalne:
$$S(x)= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n \cdot \left(\cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\right) + c_{-n} \cdot \left(\cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\right) \right)$$
Przemnóżmy przez współczynniki $c_n$ i $c_{-n}$:
$$S(x)= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( c_n \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + c_n \cdot i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + c_{-n} \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - c_{-n} \cdot i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right)$$
Pogrupujmy według funkcji $\cos$ i $\sin$:
$$S(x)= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( (c_n + c_{-n}) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + i(c_n - c_{-n}) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\right)$$
Jeżeli zapiszemy:
$$a_0 = 2c_0$$
$$a_n = c_n + c_{-n}$$
$$b_n = i(c_n - c_{-n})$$
to otrzymamy wzór rzeczywistego szeregu Fouriera:
$$S(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + b_n \cdot \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right)$$
Spróbujmy przedstawić wzory współczynników $a_0,\, a_n,\, b_n$.
Rozpiszmy je najpierw za pomocą znanych wzorów na $c_n$:
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx$$
$$a_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx + \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}} dx$$
$$b_n = i\left(\frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx - \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}} dx\right)$$
Przedstawmy następnie sumy średnich jako średnie sum:
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} dx$$
$$a_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left( f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} + f(x) \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}}\right) dx$$
$$b_n = i\left(\frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left( f(x) \cdot e^{-i\frac{2n\pi x}{T}} - f(x) \cdot e^{i\frac{2n\pi x}{T}}\right) dx \right)$$
Rozpiszmy funkcje eksponencjalne za pomocą wzoru Eulera:
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$a_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \left( \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right) dx$$
$$b_n = i\left(\frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cdot \left( \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right) dx \right)$$
Skróćmy funkcje zerujące się:
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$a_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \left( \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right) dx$$
$$b_n = i\left(\frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cdot \left( - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right) dx \right)$$
Połączmy powtarzające się składniki:
$$a_0 = 2 \cdot \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$a_n = \frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot 2 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$b_n = i\left(\frac{1}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cdot -2i \cdot \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx \right)$$
Przemnóżmy niektóre elementy ( w tym $i \cdot -2i = 2$) :
$$a_0 = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) - i\sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$a_n = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
$$b_n = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx $$
Zredukujmy sinusa we wzorze na $a_0$, wiedząc, że $\frac{2n\pi x}{T} = 0$:
$$a_0 = \frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx$$
Otrzymujemy ten sam wzór co na $a_n$:
Możemy więc zapisać:
$$a_n=\frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos\left(\frac{2n\pi}{T}x\right)dx,\, n \in \mathbb{N}_0$$
$$b_n=\frac{2}{T}\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin\left(\frac{2n\pi}{T}x\right)dx,\, n \in \mathbb{N}_1$$
W ten sposób otrzymaliśmy wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki dla funkcji rzeczywistych.
Poniżej można zobaczyć, jak wygląda szereg Fouriera funkcji rzeczywistej (na prawym wykresie oś rzeczywista jest pionowa ze względu na łatwiejszą wizualizację):
Jak widać, nawet najbardziej skomplikowaną funkcję okresową można rozłożyć na pojedyncze, proste obracające się wektory.