Ciekawostki i hipotezy

Największe liczby pierwsze

Aktualnie największą znaną liczbą pierwszą jest 51 liczba pierwsza Mersenne’a: 2^82589933 - 1 odkryta 7 grudnia 2018 roku, której zapis dziesiętny liczby 24 862 048 cyfr.

Aktualnie osiem największych znanych liczb pierwszych są to liczby pierwsze Mersenne’a. Największą znaną liczbą pierwszą, która nie jest liczbą pierwszą Mersenne’a jest:

10223*2^31172165 + 1

Została odkryta 31 października 2016 roku w ramach projektu PrimeGrid, a jej zapis dziesiętny liczy 9 383 761 cyfr.

Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest liczba Ferriera znaleziona w 1951 roku przez Francuza Aimé Ferriera.

Posiada ona 44 cyfry oraz znaleziona została za pomocą mechanicznego kalkulatora.

Problemy i hipotezy

Choć wiele już wiemy o liczbach pierwszych wciąż jest wiele twierdzeń i hipotez, które jeszcze nie zostały udowodnione:

• Hipoteza Goldbacha: czy każda liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
• Czy dla każdego n istnieje liczba pierwsza pomiędzy n² i (n+1)².
• Czy liczb pierwszych Mersenne’a jest nieskończenie wiele?
• Czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele?
• Czy liczb pierwszych Germain jest nieskończenie wiele?

Hipoteza Goldbacha

W 1742 roku w liście do Leonharda Eulera, Christian Goldbach przedstawił hipotezę, że

Każda nieparzysta liczba naturalna większa niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pierwszych (ta sama liczba pierwsza może być użyta dwukrotnie).

Euler po otrzymaniu listu stwierdził, że hipotezę tę można uprościć i przedstawić w następujący sposób:

Każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Powyższą hipotezę, do dzisiaj nazywaną "hipotezą Goldbacha", sformułował w rezultacie Euler, jednakże nazwa nie została zmieniona.

Dzięki użyciu komputerów udało się pokazać, że hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla liczb naturalnych mniejszych niż 4 · 10¹⁷ (przez przedstawienie każdej z tych liczb w postaci sumy dwóch liczb pierwszych). Co więcej, większość współczesnych matematyków uważa, iż jest ona prawdziwa, ponieważ ze względu na stosunkowo gęsty rozkład liczb pierwszych wydaje się, że większe liczby parzyste coraz łatwiej jest przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

Pomimo licznych prób oraz wysokich nagród finansowych ufundowanych za jej udowodnienie lub obalenie, hipoteza Goldbacha pozostaje do dnia dzisiejszego nierozstrzygnięta. Do chwili obecnej udowodniono jedynie, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma co najwyżej sześciu liczb pierwszych, a także, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 może zostać przedstawiona jako suma liczby pierwszej oraz liczby, która ma co najwyżej dwa czynniki pierwsze.

Wzory liczb pierwszych

Na przestrzeni wieków wielu sławnych matematyków jak i zwykłych amatorów próbowało znaleźć wzory generujące w prosty sposób liczby pierwsze. Ideałem byłby wzór, z którego przy podstawianiu kolejnych liczb naturalnych ( bez żadnego ograniczenia ) otrzymywalibyśmy kolejne liczby pierwsze, ale wydaje się, że niemożliwe jest istnienie takiego wzoru. Takich wzorów doszukiwano się szczególnie wśród trójmianów kwadratowych. Adrien Marie Legendre znalazł wyrażenie: 2n² + 29. Dla n = 1, 2, 3,... 28 otrzymano 28 różnych liczb pierwszych. Również Leonhard Euler starał się wyprowadzić takie wyrażenia i znalazł dwa: n² -n + 41 w którym dla n = 1, 2, 3, ...., 40 otrzymamy 40 różnych liczb pierwszych oraz n² - 79n + 1601 dla którego można otrzymać aż 79 liczb pierwszych lecz 39 z tych liczb pierwszych się powtarza.

Poniżej przykłady innych wzór, które generują liczby pierwsze:

• n² - 3n + 43 - 41 liczb pierwszych w tym 1 liczba powtarzająca się
• n² - 5n + 47 - 42 liczby pierwsze w tym 2 liczby powtarzające się
• n² - 81n + 1681 - 80 liczb pierwszych w tym 40 liczb powtarzających się
• 2n² - 116n + 1711 - 57 liczb pierwszych w tym 28 liczb powtarzających się
• 3n² - 135n + 1541 - 44 liczb pierwszych w tym 22 liczby powtarzające się
• 4n² - 166n + 1763 - 40 unikalnych liczb pierwszych
• 6n² - 354n + 5251 - 58 liczb pierwszych w tym 29 liczb powtarzających się
• 9n² - 249n + 1763 - 40 unikalnych liczb pierwszych

Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów

Kolejnym bardzo ciekawym twierdzeniem związanym z liczbami pierwszymi jest twierdzenie o sumie dwóch kwadratów. Twierdzenie te mówi o tym, że liczby pierwsze nieparzyste można podzielić na dwie grupy: pierwsza składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1, druga grupa składa się z liczb, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3. Oznacza to, że liczby pierwsze można podzielić na dwie grupy, takie które można zapisać w postaci 4k+1, oraz takie które można zapisać w postaci 4k+3.

Twierdzenie mówi o tym, że:

Wszystkie liczby pierwsze postaci 4k+1 można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów, i to tylko w jeden sposób oraz żadnej liczby pierwszej postaci 4k+3 nie można przedstawić w taki sposób.

Przykłady takiego rozkładu:

• 5 = 1² + 2²
• 13 = 2² + 3²
• 17 = 1² + 4²
• 29 = 2² + 5²
• 37 = 1² + 6²