dr inż. Jerzy J. Jasielec

Zastosowania problemu brzegowego Dirichleta

PMiKNoM seminaria - zajęcia 6

Transport masy (dyfuzja)

Wyprowadzenie drugiego prawa Fick'a

Prawo zachowania masy ma postać:
$$ \frac{\partial c_i}{\partial t} = - \frac{\partial J_i}{\partial x} $$
gdzie `c_i` to stężenie `i`-tego jonu/cząsteczki, `J_i` odpowiada jego strumieniowi; `x` oraz `t` oznaczają położenie i czas.
Pierwsze prawo Fick'a ma postać:
$$ J_i = - D_i \frac{\partial c_i}{\partial x} $$
gdzie `D_i` jest współczynnikiem dyfuzji `i`-tego jonu/cząsteczki.
Po podstawieniu pierwszego prawa Fick'a do prawa zachowania masy, otrzymujemy:
$$ \frac{\partial c_i}{\partial t} = - \frac{\partial (- D_i \frac{\partial c_i}{\partial x}))}{\partial x} $$
Zakładając, że współczynnik dyfuzji nie zależy od połóżenia, t.j. `D_i = const`, otrzymujemy drugie prawo Fick'a:
$$ \frac{\partial c_i}{\partial t} = D_i \frac{\partial^2 c_i}{\partial x^2} $$

Drugie prawo Fick'a w stanie stacjonarnym

Stan stacjonarny, oznacza sytuację, w której stężenia nie zmieniają się w czasie, t.j. `{\partial c_i} / {\partial t} = 0`. Drugie prawo Fick'a dla stanu stacjonarnego ma zatem postać:

$$ D_i \frac{\partial^2 c_i}{\partial x^2} = 0 $$

Należy zauważyć, że drugie prawo Fick'a jest szczególnym przypadkiem problemu brzegowego rozwiązywanego na zajęciach 5. Rozwiązując problem ogólny z `\alpha (x) = -D_i`, `\beta (x) = 0`, `\gamma (x) = 0` oraz `f(x) = 0`, możemy uzyskać rozkłady stężeń w stanie stacjonarnym.

Transport ciepła

Równanie transportu ciepła

Równanie transportu ciepła opisuje przepływ ciepła w ośrodku jednorodnym:

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} $$

gdzie `T` to temperatura ośrodka, `\alpha` jest współczynnikiem transportu ciepła; `x` oraz `t` oznaczają położenie i czas.

Rozkład temperatury w stanie stacjonarnym

Stan stacjonarny, oznacza sytuację, w której temperatura nie zmienia się w czasie, t.j. `{\partial T} / {\partial t} = 0`. Równanie transportu ciepła dla stanu stacjonarnego ma zatem postać:

$$ \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$$

Należy zauważyć, że równanie transportu ciepła jest szczególnym przypadkiem problemu brzegowego rozwiązywanego na zajęciach 5. Rozwiązując problem ogólny z `\alpha (x) = -\alpha`, `\beta (x) = 0`, `\gamma (x) = 0` oraz `f(x) = 0`, i znając temperaturę na brzegach, możemy uzyskać rozkład temperatury w stanie stacjonarnym.