dr inż. Jerzy J. Jasielec

Problem brzegowy Dirichleta

PMiKNoM seminaria - zajęcia 5

Wstęp

• II prawo Fick'a w stanie stacjonarnym i inne przykłady problemu brzegowego.

Problem ogólny

W wielu zastosowaniach pojawiają się równania różniczkowe drugiego rzędu z warunkami polegającymi na zadaniu wartości szukanej funkcji na końcach przedziału (ewentualnie jej pochodnych lub kombinacji wartości funkcji i pochodnych). Typowy przykład takiego zagadnienia to:

Tak zdefiniowane zagadnienie nazywa się zagadnieniem brzegowym Dirichleta. Istotne jest to, że zadajemy wartości szukanej funkcji na brzegach przedziału.

Rozwiązanie problemu brzegowego Dirichleta:

Równanie ogólne:

• Dzielimy przedział `[x_L, x_R]` na `n+1` równych odcinków. Odległość, pomiędzy dwoma punktami, `x_i` oraz `x_{i+1}`, wynosi zatem `h=(x_R-x_L)/(n+1)`.
• Zapisujemy ogólne równanie dla każdego `i`-tego dyskretnego punktu:
  `-\alpha(x_i) u \text{"} (x_i) + \beta(x_i) u \text{'} (x_i) + \gamma(x_i)u(x_i) = f(x_i)`
• Podstawiamy pierwszą i drugą pochodną, używając różnic skończonych:
  ` u \text{'}(x_i) = \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} `
  ` u \text{"}(x_i) = \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2} `
• Otrzymujemy:
  `-\alpha(x_i) \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2} + \beta(x_i) \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} + \gamma(x_i)u(x_i) = f(x_i)`
• Mnożymy obie strony równania przez `h^2`, a następnie przekształcamy równanie do postaci:
  `u_{i-1} ( - \alpha(x_i) - \frac{h}{2} \beta(x_i) ) + u_i (2 \alpha(x_i) + h^2 \gamma(x_i)) + u_{i+1} ( - \alpha(x_i) + \frac{h}{2} \beta(x_i) ) = h^2 f(x_i)`

Brzegi:

• Przepisujemy powyższe równanie, podstawiając `i=1`:
  `u_0 ( - \alpha(x_1) - \frac{h}{2} \beta(x_1) ) + u_1 (2 \alpha(x_1) + h^2 \gamma(x_1)) + u_2 ( - \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) ) = h^2 f(x_1)`
• Mając dane `u_0 = u(a) = u_L`, można przenieść cały człon na prawą stronę równania, otrzymując:
  `u_1 (2 \alpha(x_1) + h^2 \gamma(x_1)) + u_{2} ( - \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) ) = h^2 f(x_1) + u_L ( \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) )`
• Wykonujemy podobne podstawienie dla punktu `i=n`, otrzymując:
  `u_{n-1} ( - \alpha(x_n) - \frac{h}{2} \beta(x_n) ) + u_n (2 \alpha(x_n) + h^2 \gamma(x_n)) + u_{n+1} ( - \alpha(x_n) + \frac{h}{2} \beta(x_n) ) = h^2 f(x_n)`
• Mając dane `u_{n+1} = u(b) = u_R`, można przenieść cały człon na prawą stronę równania, otrzymując:
  `u_{n-1} ( - \alpha(x_n) - \frac{h}{2} \beta(x_n) ) + u_n (2 \alpha(x_n) + h^2 \gamma(x_n)) = h^2 f(x_n) + u_R ( \alpha(x_n) - \frac{h}{2} \beta(x_n) )`

Macierz trójdiagonalna:

• Układ równań:
  $$ \left\{ \begin{array}{l} u_1 (2 \alpha(x_1) + h^2 \gamma(x_1)) + u_{2} ( - \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) ) = h^2 f(x_1) + u_L ( \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) ) \\ u_{i-1} ( - \alpha(x_i) - \frac{h}{2} \beta(x_i) ) + u_i (2 \alpha(x_i) + h^2 \gamma(x_i)) + u_{i+1} ( - \alpha(x_i) + \frac{h}{2} \beta(x_i) ) = h^2 f(x_i) \text{, for } i=2..n-1 \\ u_{n-1} ( - \alpha(x_n) - \frac{h}{2} \beta(x_n) ) + u_n (2 \alpha(x_n) + h^2 \gamma(x_n)) = h^2 f(x_n) + u_R ( \alpha(x_n) - \frac{h}{2} \beta(x_n) ) \end{array} \right. $$
  tworzy macierz trójdiagonalną:
  $$ \left\{ \begin{array}{l} d_1 u_1 + c_1 u_2 = b_1 \\ a_{i-1} u_{i-1} + d_i u_i + c_i u_{i+1} = b_i \text{, for } i=2..n-1\\ a_{n-1} u_{n-1} + d_n u_n = b_n \end{array} \right. $$
• A zatem, by rozwiązać zagadnienie brzegowe Dirichleta, najpierw należy przypisać odpowiednie wartości do macierzy trójdiagonalnej, t.j. `d_1 = (2 \alpha(x_1) + h^2 \gamma(x_1))`, `c_1 = ( - \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) )`, `b_1 = h^2 f(x_1) + u_L ( \alpha(x_1) + \frac{h}{2} \beta(x_1) )`, itd.
• Rozwiązywanie macierzy trójdiagonalnej zostało pokazane na zajęciach 4.

Dodatkowe materiały:

• Skrypt: R. Filipek, K. Szyszkiewicz-Warzecha "Metody Matematyczne dla Ceramików", strony 128-147.