Tomasz Bartuś

Miary wartości przeciętnej

Tomasz Bartuś

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.

szereg szczegółowy

gdzie:
n - liczebność zbiorowości próbnej (próby),
x_i - wariant cechy.
Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.

Średnia arytmetyczna ważona

szereg rozdzielczy punktowy

szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi

gdzie: oznacza środek przedziału klasowego

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych i liczebności i-tej grupie n_i:

gdzie:
jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach.

Podstawiając w miejsce n_i wskaźnik struktury w_i otrzymamy zależności:

lub

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej

• suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości:
  
  lub dla szeregu rozdzielczego:
  
• średnia arytmetyczna spełnia warunek:
  
• suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero:
  
  lub
  
• Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna:
  
  lub
  
• średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%), możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne,
• średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy,
• średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość pojazdu w km/h.

szereg szczegółowy

szereg rozdzielczy

Przyjmując, że waga

oraz

to:

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

Modalna

Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej.

Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:

gdzie:
m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,
- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,
n_m - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m, n_m-1,
n_m+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m -1 i m+1,
h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.