Losowość zdarzeń oznacza, że wystąpienie jednego zdarzenia nie oddziaływuje probabilistycznie na możliwość wystąpienia innego zdarzenia. W geologii mamy najczęściej do czynienia z innymi sytuacjami. Trzęsienie ziemi lub erupcja wulkanu oddziałują na prawdopodobieństo kolejnych zdarzeń tego typu.
Wyobraźmy sobie, że w ciągu okresu czasu wynoszącego 100 lat, mamy do czynienia z 10-cioma zdarzeniami o rozkładzie losowym. Jeżeli cały analizowany okres podzielimy na dekady, to okaże się, że w większości dekad będzie miało miejsce jedno zdarzenie, być może w kilku dekadach zdarzenia będą dwa lub nie będzie ich wcale. Dekad o ilości zdarzeń większej od dwóch, z uwagi na niezwykle małe prawdopodobieństwo takiego wystąpienia, nie będzie zapewne wcale. Rozkład częstotliwości wystąpienia zdarzeń losowych z powyższego przykładu przyjmie model Poissona.
UWAGA: Rozkład Poissona jest jednym z rozkładów dyskretnych (skokowych). Stosuje się go w przypadku określania prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń stosunkowo rzadkich i niezależnych od siebie przy występowaniu dużej ilości doświadczeń.
Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego.
PRZYKŁAD
Fig. 1. przedstawia rozkład horyzontów tufitowych obserwowanych w wybranym profilu geologicznym. Liczby oznaczajš położenie horyzontów tufitowych względem podstawy profilu
Fig. 1. Rozkład horyzontów tufitowych w profilu geologicznym
Jeżeli zdażenia jakimi są poziomy skał piroklastycznych związane z okresami nasilonej działalności wulkanicznej występują w sekwencji losowo, wtedy liczba obserwacji w każdym z regularnie interwałów profilu podlegać będzie rozkładowi Poissona. Jednocześnie trzeba pamiętać, że tego typu zdarzenia w większym stopniu związane są z procesami sedymentacyjnymi niż cyklicznością zjawisk wulkanicznych.
Jeżeli użyjemy interwałów 3 m miąższości wtedy otrzymamy następujące wyniki:
nr
interwał [m]
liczba obserwacji (j)
1
0-3
2
2
3-6
3
3
6-9
1
4
9-12
1
5
12-15
2
6
15-18
1
7
18-21
0
8
21-24
2
9
24-27
1
10
27-30
0
11
30-33
2
12
33-36
0
13
36-39
1
14
39-42
0
15
42-45
1
Tak więc rozkład zmiennej losowej jaką jest liczba poziomów tufitowych w interwałach o stałej miąższości równej 3 m będzie wyglądał następująco:
j
Oj
0
4
1
6
2
4
3
1
4
0
Aby zbadać czy otrzymany rozkład jest zgodny z teoretycznym rozkładem Poissona o znanej gęstości prawdopodobieństwa zdarzeń. użyjemy testu χ2.
H0: rozkład zdarzeń występowania tufitów w badanym profilu ma charakter losowy
Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa jaką jest liczba poziomów tufitowych przypadająca na każdy z regularnych interwałów obliczamy ze wzoru na rozkład Poissona [szczegóły zob.: Rozkłady zmiennych losowych dyskretnych].
P(X = k) = (λk / k!) e-λ
gdzie: λ - wartość przeciętna (oczekiwana) zmiennej losowej, k - zmienna losowa będąca liczbą sukcesów (liczba zdarzeń elementarnych w interwale)
λ = N p
gdzie: N - liczba doświadczeń (liczba poziomów tufitowych - u nas N = 17), p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu
Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
p = 1 / T
gdzie: T - liczba regularnych interwałów (u nas T = 15),
tak więc:
P(X = k) = (N / Tk / k!) e-(N/T)
PRZYKŁAD cd.
k
(N/T)k
k!
(N/T)k/k!
Ek
0
1
1
1.0
4.829
1
1.133
1
1.333
5.470
2
1.284
2
0.642
3.101
3
1.456
6
0.243
1.173
4
1.649
24
0.069
0.333
5
1.870
120
0.013
0.063
W związku z zaleceniem dla testu χ2 aby łączyć klasy w których liczba oczekiwanych elementów jest mniejsza niż 5, połączono zmienne losowe 2, 3, 4 i 5 w jedną klasę 2-∞.
k
Ok
Ek
χ2
0
4
4.829
0,142
1
6
5.470
0.051
2-∞
5
4.701
0.019
Σ
15
15
0.212
Tak więc: χ2 = 0.212 α = 0.05 df = k - p - 1 = k - 1 = 2 χ2α, df = 5.99
χ2 < χ2α, df
Z tego wynika, że nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (H0), co jednocześnie oznacza, że nie możemy wykluczyć, że rozkład tufitów w badanym profilu ma rozkład losowy.
Dostępnych jest 60 zestawów danych. Każdy zestaw składa się z dwóch dokumentów (.doc) oznaczonych odpowiednio w nazwie pliku litermi "A" lub "B" oraz jednym dokumentem .sta (Statistica 5.0) (Sz. cz. A). W pliku: instrukcja_ST_5.doc zamieszczono szczegółową instrukcję do ćwiczeń autorstwa dr inż. Wojciecha Masteja, a w pliku: Sz-srf.xls dane do wykreślenia map.
