Jeżeli zmienna losowa posiada skończoną liczbę realizacji, a prawopodobieństwo zdarzenia polegającego na realizacji dowolnej zmiennej losowej jest jednakowe, mówimy wtedy o rozkładzie jednostajnym.
Fig. 1. Rozkład jednostajny
Prawdopodobieństwo zajścia dowolnego zdarzenia z przestrzeni zdarzeń elementarnych jest stałe i dane wzorem:
gdzie: n - liczebność zbioru zdarzeń elementarnych.
2. Rozkład dwupunktowy
Rozkład dwupunktowy stosuje się w przypadku zmiennych losowych, które przyjmują wyłącznie dwie wartości. Można więc opisywać nim doświadczenia mogące się zakończyć na dwa sposoby np. rzut monetą (orzeł lub reszka). W praktyce, służy w badaniach populacji dzielących się na dwie kategorie np. ruda i skała płonna. Istnieją więc dwie realizacje zmiennej losowej X: X = {1, 0}. Gdy zmienna losowa przyjmuje wartość "1", przyjęło się mówić, że doświadczenie zakończyło się sukcesem, gdy natomiast zmienna przyjęła wartość "0", zakończyło się porażką.
Rozkład zmiennej losowej
.
Tab.1. Tabelka realizacji zmiennej losowej X w rozkładzie dwupunktowym
i
1
2
xi
0
1
pi
q
p
gdzie: pi - prawdopodobieństwa realizacji zmiennej losowej X, xi - realizacje zmiennej losowej X.
Rozkład Bernoulliego jest w praktyce najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej losowej. Stosujemy go wówczas gdy wykonujemy n niezależnych doświadczeń (wynik każdego nich nie zależy od doświadczeń poprzednich), przy czym każde z doświadczeń ma, podobnie jak w rozkładzie dwupunktowym jedno z dwóch możliwych wyników: "sukces" lub "porażkę". Tak więc prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym z doświadczeń takie samo. Jako wartość zmiennej losowej przyjmujemy ilość sukcesów. Zmienna losowa może zatem przyjmować wartości: XX = {0, 1, 2, 3,..., N}.
Rozkład zmiennej losowej
.
Zdefiniujmy zmienną losową X równą liczbie sukcesów k (np. wyrzucenie orła) w N=9 doświadczeniach (np. rzutach monetą).
Załóżmy, ze otrzymaliśmy wynik: O, O, R, O, R, R, O, O, R
gdzie: O - oznacza wyrzucenie "orła", R - oznacza wyrzucenie "reszki". N=9; k=5;
Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu?
Prawdopodobieństwo, że za pierwszym i następnymi razami wyrzucimy orła jest równe p. W związku z tym, że zdarzenia są niezależne, prawdopodobieństwo otrzymania takiego ciągu jest równe iloczynowi prawdopodoboieństw kolejnych zdarzeń.
W związku z tym, że interesują nas wszystkie możliwe ustawienia wyników (wariacje), mnożymy wszystko przez dwumian Newtona i otrzymujemy:
gdzie: N - ilość doświadczeń, k - ilość sukcesów w N doświadczeniach,
Wartość przeciętna zmiennej losowej
Zdefiniujmy zmienną losową Y równą liczbie sukcesów k w N doświadczeniach.
Każdy z wyników otrzymanych w pojedynczym doświadczeniu zależy od innej zmiennej losowej Z, mającej dwie realizacje Z: Z={0, 1}.
Y
Z
realizacje zmiennej losowej Z
y0=0
z1, z2, z3, ..., zN
0, 0, 0, ..., 0
y1=1
z1, z2, z3, ..., zN
0, 0, 1, ..., 0
y2=2
z1, z2, z3, ..., zN
1, 0, 1, ..., 0
...
...
...
yn=N
z1, z2, z3,...zN
1, 1, 1, ..., 1
Wariancja zmiennej losowej
PRZYKŁAD
Dwóch równorzędnych graczy gra w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne dla każdego z nich:
1. wygrać dwie partie z czterech?,
2. czy trzy z sześciu?.
Partie remisowe nie są brane pod uwagę.
ROZWIĄZANIE
Tab. 1. Tabela prawdopodobieństwa zdarzeń
co jest bardziej prawdopodobne?
N
k
2 partie z 4
4
2
3 partie z 6
6
3
gdzie: N - ilość doświadczeń, k- ilość sukcesów w N doświadczeniach.
Rozkład Poissona stanowi szczególny przypadek rozkładu dwumianowego (Bernoulliego), w którym prawdopodobieństwo sukcesu (p) jest bardzo małe, a liczba niezależnych doświadczeń (N) na tyle duża, że iloczyn:
jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt dużą.
Wartość przeciętna zmiennej losowej.
Wariancja zmiennej losowej.
Rozkład Poissona stosujemy wszędzie tam, gdzie liczba obserwowanych doświadczeń niezależnych N w przestrzeni lub czasie jest bardzo duża, a prawdopodobieństwo sukcesu w pojedyńczym doświadczeniu p bardzo małe.
Przykłady:
- rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n duża, prawdopodobieństwo rozpadu konkretnego jądra bardzo małe;
- zderzenia cząstek elementarnych, duża ilość cząstek, mała szansa na zderzenie;
Zjawisko emisji cząstek α zachodzi w ekstremalnie krótkim czasie patrząc z punktu widzenia czasu geologicznego także trzęsienia Ziemi mogą być traktowane jako zjawiska epizodyczne, podobnie obecność drumlinów (polodowcowe wzgórki) czy też ponorów (wchłony wód) mogą byc uważane za zjawiska punktowe w porównaniu z wielkością regionów.
Analiza każdego zagadnienia wymaga obliczenia ilości zdarzeń w przyjętych interwałach przestrzeni lub czasu. Możemy np. policzyć ilość erupcji wulkanicznych w 25-letnich okresach czy rozkład ziarn granatów w cienkich przedziałach płaszczyzn foliacji łupków. Pytanie kiedy mamy do czynienia z losowym i niezależnym modelem zdarzeń i czy model ten odpowiada rozkładowi Poissona? Zdarzenia mogą być uważane za losowe i niezależne jeżeli:
prawopodobieństwo pojedynczego zdarzenia w bardzo krótkim interwale czasu lub przestrzeni jest w przybliżeniu proporcjonalne do długości tego interwału (czyli bardzo małe)
Prawdopodobieństwo zajścia większej niż jedno ilości zdarzeń w każdym z interwałów jest zbliżone do zera (możemy stworzyć interwały wystarczająco małe do stworzenia takich warunków). Założenie to oznacza w praktyce, że w każdym z interwałów będzie odnotowane "0" lub "1" zdarzenie
Pojawienie się lub brak zdarzenia jest od siebie niezależne
Dostępnych jest 60 zestawów danych. Każdy zestaw składa się z dwóch dokumentów (.doc) oznaczonych odpowiednio w nazwie pliku litermi "A" lub "B" oraz jednym dokumentem .sta (Statistica 5.0) (Sz. cz. A). W pliku: instrukcja_ST_5.doc zamieszczono szczegółową instrukcję do ćwiczeń autorstwa dr inż. Wojciecha Masteja, a w pliku: Sz-srf.xls dane do wykreślenia map.
